Question

14．某大學(xué)有甲、乙兩個(gè)圖書(shū)館，對(duì)其借書(shū)、還書(shū)的等待時(shí)間進(jìn)行調(diào)查，得到下表：
甲圖書(shū)館

借（還）書(shū)等待時(shí)間T1（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數(shù)	1500	1000	500	500	1500

乙圖書(shū)館

借（還）書(shū)等待時(shí)間T2（分鐘）	1	2	3	4	5
頻數(shù)	1000	500	2000	1250	250

以表中等待時(shí)間的學(xué)生人數(shù)的頻率為概率．
（1）分別求在甲、乙兩圖書(shū)館借書(shū)的平均等待時(shí)間；
（2）學(xué)校規(guī)定借書(shū)、還書(shū)必須在同一圖書(shū)館，某學(xué)生需要借一本數(shù)學(xué)參考書(shū)，并希望借、還書(shū)的等待時(shí)間之和不超過(guò)4分鐘，在哪個(gè)圖書(shū)館借、還書(shū)更能滿(mǎn)足他的要求？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)已知可得T₁，T₂的分布列及其數(shù)學(xué)期望．
（2）設(shè)T₁₁，T₁₂分別表示在甲圖書(shū)館借、還書(shū)所需等待時(shí)間，設(shè)事件A為“在甲圖書(shū)館借、還書(shū)的等待時(shí)間之和不超過(guò)4分鐘”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．設(shè)T₂₁，T₂₂分別表示在乙圖書(shū)館借、還書(shū)所需等待時(shí)間，設(shè)事件B為“在乙圖書(shū)館借、還書(shū)的等待時(shí)間之和不超過(guò)4分鐘”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．利用相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：（1）根據(jù)已知可得T₁的分布列：

T1（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.3	0.2	0.1	0.1	0.3

T₁的數(shù)學(xué)期望為：E（T₁）=1×0.3+2×0.2+3×0.1+4×0.1+5×0.3=2.9．

T2（分鐘）	1	2	3	4	5
P	0.2	0.1	0.4	0.25	0.05

T₂的數(shù)學(xué)期望為：E（T₁）=1×0.2+2×0.1+3×0.4+4×0.25+5×0.05=2.85．因此：該同學(xué)甲、乙兩圖書(shū)館借書(shū)的平均等待時(shí)間分別為：2.9分鐘，2.85分鐘．
（2）設(shè)T₁₁，T₁₂分別表示在甲圖書(shū)館借、還書(shū)所需等待時(shí)間，設(shè)事件A為“在甲圖書(shū)館借、還書(shū)的等待時(shí)間之和不超過(guò)4分鐘”．T₁₁+T₁₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（A）=0.3×0.3+0.3×0.2+0.3×0.1+0.2×0.3+0.2×0.2+0.1×0.3=0.31．
設(shè)T₂₁，T₂₂分別表示在乙圖書(shū)館借、還書(shū)所需等待時(shí)間，設(shè)事件B為“在乙圖書(shū)館借、還書(shū)的等待時(shí)間之和不超過(guò)4分鐘”．T₂₁+T₂₂≤4的取值分別為：（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（2，2），（3，1）．
∴P（B）=0.2×0.2+0.2×0.1+0.2×0.4+0.1×0.2+0.1×0.1+0.4×0.2=0.25．
∴P（A）＞P（B）．∴在甲圖書(shū)館借、還書(shū)更能滿(mǎn)足他的要求．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了隨機(jī)變量分布列的概率計(jì)算公式與數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、分類(lèi)討論方法、相互獨(dú)立與互斥事件的概率計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．