Question

4．對(duì)于任意x∈R，函數(shù)f（x）表示y₁=4x+1，y₂=x+2，y₃=-2x+4三個(gè)函數(shù)值的最小值，則f（x）的最大值是$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 求出f（x）的解析式，判斷f（x）的單調(diào)性，利用f（x）的單調(diào)性得出f（x）的最大值．

解答 解：解不等式$\left\{\begin{array}{l}{4x+1≤x+2}\\{4x+1≤-2x+4}\end{array}\right.$得：x$≤\frac{1}{3}$；
解不等式$\left\{\begin{array}{l}{x+2≤4x+1}\\{x+2≤-2x+4}\end{array}\right.$得：$\frac{1}{3}$≤x≤$\frac{2}{3}$，
解不等式$\left\{\begin{array}{l}{-2x+4≤4x+1}\\{-2x+4≤x+2}\end{array}\right.$得：x$≥\frac{2}{3}$，
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{4x+1，x≤\frac{1}{3}}\\{x+2，\frac{1}{3}＜x＜\frac{2}{3}}\\{-2x+4，x≥\frac{2}{3}}\end{array}\right.$，
∴f（x）在（-∞，$\frac{1}{3}$]上單調(diào)遞增，在（$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$）上單調(diào)遞增，在[$\frac{2}{3}$，+∞）上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)x=$\frac{2}{3}$時(shí)，f（x）取得最大值f（$\frac{2}{3}$）=$\frac{8}{3}$．
故答案為$\frac{8}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了不等式的解法，函數(shù)單調(diào)性的判斷及最值計(jì)算，屬于中檔題．