19．若點P是函數(shù)$y={e^x}-{e^{-x}}-3x（-\frac{1}{2}≤x≤\frac{1}{2}）$圖象上任意一點，且在點P處切線的傾斜角為α，則α的最小值是$\frac{3π}{4}$．

分析 對函數(shù)求導y′=ex+e-x-3，由-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，利用基本不等式可求出導數(shù)的范圍，進而可求傾斜角的范圍．

解答 解：y′=ex+e-x-3，
∵-$\frac{1}{2}$≤x≤$\frac{1}{2}$，
∴0＞ex+e-x-3≥$2\sqrt{{e}^{x}•{e}^{-x}}$-3=-1，當且僅當x=0時取等號，
即-1≤tanα＜0，
∴$\frac{3π}{4}$≤α＜π即傾斜角的最小值$\frac{3π}{4}$．
故答案為：$\frac{3π}{4}$．

點評 本題考查導數(shù)的幾何意義：導數(shù)在切點處的值是曲線的切線斜率，以及利用基本不等式求最值，屬于中檔題．

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