Question

7．五面體ABC-DEF中，面BCFE是梯形，BC∥EF，面ABED⊥面BCFE，且AB⊥BE，DE⊥BE，AG⊥DE于G，若BE=BC=CF=2，EF=ED=4．
（Ⅰ）求證：G是DE中點；
（Ⅱ）求二面角A-CE-F的平面角的余弦．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長EB，F(xiàn)C交于M，可得 M∈DA，由條件，易知四邊形ABEG是矩形，所以$\frac{GE}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$，即G是DE中點
（Ⅱ）作BE⊥EF于E，以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$分別為x，y，z軸構(gòu)建空間直角坐標系，
所以E（$\sqrt{3}$，-1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），利用向量法求解

解答 解：（Ⅰ）證明：延長EB，F(xiàn)C交于M    因為M∈EB，所以M∈面AEBD  M∈CF，所以M∈面CFDA
因為面AEBD與面CFDA交于DA    所以M∈DA
因為AB∥DE，BC∥EF  所以$\frac{AB}{DE}=\frac{MB}{ME}=\frac{BC}{EF}=\frac{1}{2}$
由條件，易知四邊形ABEG是矩形，所以$\frac{GE}{DE}=\frac{AB}{DE}=\frac{1}{2}$
即G是DE中點…（6分）
（Ⅱ）作BE⊥EF于E，以$\overrightarrow{BE}$，$\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BA}$分別為x，y，z軸構(gòu)建空間直角坐標系，
所以E（$\sqrt{3}$，-1，0），A（0，0，2），C（O，2，O），令面AEC的法向量為$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
所以$\overrightarrow{AE}$•$\overrightarrow{n}$=0；$\overrightarrow{AC}$$•\overrightarrow{n}$=0，易得$\overrightarrow{n}$的一個值為（$\sqrt{3}$，1，1），
因為AB垂直面BEFC，所以可令面EFC法向量為$\overrightarrow{v}$=（0，0，1）
所以cos$＜\overrightarrow{n}，\overrightarrow{v}＞$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$
所以二面角A-EC-F的余弦值為 $-\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

點評 本題考查了空間線線位置關(guān)系，向量法求空間角，屬于中檔題．