已知為坐標原點，點、的坐標分別為（，0）、（，0），點、滿足，，過點且垂直于的直線交線段于點，設點的軌跡為.（1）求軌跡的方程；

（2）若軌跡上存在兩點和關于直線：（）對稱，求的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，設直線與軌跡交于不同的兩點、，對點（1，0）和向量（，3），求取最大值時直線的方程.

解：（Ⅰ）∵，∴為中點.

       ∴垂直平分.

       ∴.

       ∴.

       ∴點的軌跡是以正、為焦點的橢圓.

       ∴長半軸，半焦距，

       ∴.

∴點的軌跡方程為.

       （2）設，，的中點.

       由.

       又，∴，.

       ∵中點在橢圓內(nèi)部，∴

       ∴（－1，0）∪（0，1）.

   （3）將代入橢圓中，整理得

       .

       設（，），（，）.

       則+=，=.

       ∴===   

       ∴

       =

       =

      

       .

       當僅當，即（0，1）時等號成立.

       此時，直線（+1）.

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科目：高中數(shù)學 來源：2014屆遼寧省高二上學期期中考試文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）

已知為坐標原點，點分別在軸軸上運動，且=8,動點滿足 =，設點的軌跡為曲線,定點為直線交曲線于另外一點

(1)求曲線的方程；

（2）求 面積的最大值。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年山東省高三12月月考理科數(shù)學試卷 題型：填空題

已知為坐標原點，點，點滿足條件，則的最大值為_____________。

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2013屆湖北省武漢市高二下期末文科數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

．已知,,為坐標原點，點在第四象限內(nèi)，且，設，則的值是(    )

.           .         .          . 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2010-2011學年福建省四地六校聯(lián)考高三上學期第二次月考理科數(shù)學卷 題型：解答題

（本小題滿分14分）在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.

（I）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；

（II）若點是曲線上的動點.當時，設函數(shù)的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（III）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當時，試寫出一個條件，使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.【說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.】

 

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科目：高中數(shù)學 來源：上海市普陀區(qū)2010屆高三第二次模擬考試理科數(shù)學試題 題型：解答題

（本題滿分18分，其中第1小題5分，第2小題5分，第3小題8分）

在平面直角坐標系中，已知為坐標原點，點的坐標為，點的坐標為，其中且.設.

（1）若，，，求方程在區(qū)間內(nèi)的解集；

（2）若點是過點且法向量為的直線上的動點.當時，設函數(shù)的值域為集合，不等式的解集為集合. 若恒成立，求實數(shù)的最大值；

（3）根據(jù)本題條件我們可以知道，函數(shù)的性質(zhì)取決于變量、和的值. 當時，試寫出一個條件，使得函數(shù)滿足“圖像關于點對稱，且在處取得最小值”.（說明：請寫出你的分析過程.本小題將根據(jù)你對問題探究的完整性和在研究過程中所體現(xiàn)的思維層次，給予不同的評分.）

 

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