Question

16．若存在兩個(gè)正數(shù)x，y，使得等式${x^2}•{e^{\frac{y}{x}}}-2a{y^2}=0$成立，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． $[{\frac{e^2}{8}，+∞}）$
• B． $（{0，\frac{e^3}{27}}]$
• C． $[{\frac{e^3}{27}，+∞}）$
• D． $（{0，\frac{e^2}{8}}]$

Answer 1

分析 等式變形為x²${e}^{\frac{y}{x}}$=2ay²成立，構(gòu)造函數(shù)f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，求出導(dǎo)函數(shù)f'（t）=$\frac{{e}^{t}（{t}^{2}-2t）}{{t}^{4}}$，利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)的最值，得出a的范圍．

解答 解：${x^2}•{e^{\frac{y}{x}}}-2a{y^2}=0$成立，
∴x²${e}^{\frac{y}{x}}$=2ay²成立，
∴$\frac{{x}^{2}}{{y}^{2}}$${e}^{\frac{y}{x}}$=2a，
令t=$\frac{y}{x}$，
∴2a=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，
令f（t）=$\frac{{e}^{t}}{{t}^{2}}$，f'（t）=$\frac{{e}^{t}（{t}^{2}-2t）}{{t}^{4}}$，
當(dāng)t＞2時(shí)，f'（t）＞0，f（t）遞增，當(dāng)t＜2時(shí)，f'（t）＜0，f（t）遞減，
∴f（t）的最小值為f（2）=$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴2a≥$\frac{{e}^{2}}{4}$，
∴a≥$\frac{{e}^{2}}{8}$
故選A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化和導(dǎo)函數(shù)的應(yīng)用．屬于基本技巧，應(yīng)熟練掌握．