Question

5．設(shè)橢圓中心在原點O，焦點在x軸上，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，橢圓上一點P到兩焦點的距離之和等于$\sqrt{6}$．
（1）求橢圓方程；
（2）若直線x+y+m=0交橢圓于A、B兩點，且OA⊥OB，求實數(shù)m的值．

Answer 1

分析 （1）運用橢圓的定義，可得2a=$\sqrt{6}$，由離心率公式可得c的值，再由a，b，c的關(guān)系可得b的值，進(jìn)而得到橢圓方程；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），將直線方程y=-x-m代入橢圓方程，消去y，可得x的方程，運用判別式大于0和韋達(dá)定理，結(jié)合向量垂直的條件：數(shù)量積為0，化簡整理，可得m的值．

解答 解：（1）由橢圓的定義可得2a=$\sqrt{6}$，
即a=$\frac{\sqrt{6}}{2}$，
由e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，可得c=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
可得橢圓的方程為$\frac{2{x}^{2}}{3}$+$\frac{4{y}^{2}}{3}$=1；
（2）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
將直線方程y=-x-m代入橢圓方程，可得
6x²+8mx+4m²-3=0，
由△=64m²-24（4m²-3）＞0，
解得-$\frac{3}{2}$＜m＜$\frac{3}{2}$．
又x₁+x₂=-$\frac{4m}{3}$，x₁x₂=$\frac{4{m}^{2}-3}{6}$，
由OA⊥OB，可得$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$=0，
即為x₁x₂+y₁y₂=0，
即x₁x₂+（-m-x₁）（-m-x₂）=0，
即有2x₁x₂+m²+m（x₁+x₂）=0，
可得$\frac{4{m}^{2}-3}{3}$+m²+m（-$\frac{4m}{3}$）=0，
解得m=±1，滿足△＞0．
則m的值為±1．

點評 本題考查橢圓的方程的求法，注意運用橢圓的定義和離心率公式，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，注意運用聯(lián)立直線方程和橢圓方程，運用判別式大于0和韋達(dá)定理，以及向量垂直的條件，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．