Question

17．已知拋物線C：x²=2py（p＞0），圓E：x²+（y+1）²=1，若直線L與拋物線C和圓E分別相切于點A，B（A，B不重合）
（Ⅰ）當p=1時，求直線L的方程；
（Ⅱ）點F是拋物線C的焦點，若對于任意的p＞0，記△ABF面積為S，求$\frac{S}{{\sqrt{p+1}}}$的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)直線L的方程為y=kx+b，由點到直線距離公式和相切性質(zhì)得k²+1=（1+b）²，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得x²-2kx-2b=0，由根的判別式得k²+2b=0，由此能求出直線L的方程．
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2p}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得x²-2px-2pb=0，由此利用根的判別式、弦長公式、點到直線距離公式，結(jié)合已知能求出$\frac{S}{{\sqrt{p+1}}}$的最小值．

解答 解：（Ⅰ）當P=1時，拋物線x²=2y，
由題意直線L的斜率存在，設(shè)直線L的方程為y=kx+b，即kx-y+b=0，
由題意得$\frac{|1+b|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=1，
即k²+1=（1+b）²，①
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得x²-2kx-2b=0，
由△=0，得k²+2b=0，②
由①②得k=±2$\sqrt{2}$，b=-4，
故直線L的方程為y=$±2\sqrt{2}x-4$，
（Ⅱ）聯(lián)立方程$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{1}{2p}{x}^{2}}\\{y=kx+b}\end{array}\right.$，得x²-2px-2pb=0，（*）
由△=0，得pk²+2p=0，③
∴b=-$\frac{p{k}^{2}}{2}$，代入（*）式，得x=pk，故點A（pk，$\frac{p{k}^{2}}{2}$），
由①②得b=-$\frac{2（p+1）}{p}$，k²=$\frac{4（p+1）}{{p}^{2}}$，故A（pk，$\frac{2（p+1）}{p}$），
∴|AB|=$\sqrt{|AE{|}^{2}-1}$=$\sqrt{{p}^{2}{k}^{2}+（\frac{2（p+1）}{p}+1）^{2}-1}$=2•$\frac{\sqrt{p+1}（p+1）}{p}$，
點F到直線L的距離d=$\frac{|-\frac{p}{2}-\frac{p}{2}{k}^{2}|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=$\frac{p}{2}$•$\sqrt{1+{k}^{2}}$=$\frac{p+2}{2}$，
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|•d=$\frac{1}{2}•2•\frac{\sqrt{p+1}（p+1）}{p}•\frac{p+2}{2}$=$\frac{1}{2}•\frac{\sqrt{p+1}（p+1）（p+2）}{p}$，
∴$\frac{S}{\sqrt{p+1}}$=$\frac{1}{2}•\frac{（p+1）（p+2）}{p}$=$\frac{1}{2}（p+\frac{2}{p}+3）$≥$\frac{1}{2}（2\sqrt{2}+3）$，
當且僅當p=$\sqrt{2}$時，$\frac{S}{\sqrt{p+1}}$有最小值$\frac{1}{2}$（2$\sqrt{2}+3$）．

點評 本題考查直線方程的求法，考查代數(shù)式的最小值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意根的判別式、弦長公式、點到直線距離公式的合理運用．