Question

12．若數(shù)列b_n=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，如果對任意的n∈N^*，都有$\frac{7}{8}$+b_n≤t²恒成立，求實數(shù)t的取值范圍．

Answer 1

分析 對n分類討論，利用數(shù)列的單調(diào)性與一元二次不等式的解法即可得出．

解答 解：b_n=$\frac{n-2}{{2}^{n}}$，
可得：b₁=-$\frac{1}{2}$，b₂=0，b₃=$\frac{1}{8}$，
n≥3時，b_n＞0，b_n+1-b_n=$\frac{n-1}{{2}^{n+1}}$-$\frac{n-2}{{2}^{n}}$=$\frac{3-n}{{2}^{n+1}}$
∴n=3時，b₃=b₄，n≥4時，b_n+1＜b_n，此時數(shù)列{b_n}單調(diào)遞減，
因此n=3或4時，b_n取得最大值$\frac{1}{8}$，
∵對任意的n∈N^*，都有$\frac{7}{8}$+b_n≤t²恒成立，
∴$\frac{7}{8}$+$\frac{1}{8}$≤t²，
∴t≤-1或t≥1，
故t的取值范圍為（-∞，-1]∪[1，+∞）

點評 本題考查了數(shù)列的單調(diào)性與一元二次不等式的解法，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．