Question

20．點(diǎn)P在曲線E：y=e^x上，若存在過P的直線交曲線E于另一點(diǎn)A，交直線l：y=x-1于點(diǎn)B，且|PA|=|AB|，則稱點(diǎn)P為“好點(diǎn)”，那么下列結(jié)論中正確的是（　�。�

• A． 曲線E上的所有點(diǎn)都是“好點(diǎn)”
• B． 曲線E上僅有有限個點(diǎn)是“好點(diǎn)”
• C． 曲線E上的所有點(diǎn)都不是“好點(diǎn)”
• D． 曲線E上有無窮多個點(diǎn)（但不是所有的點(diǎn)）是“好點(diǎn)”

Answer 1

分析 設(shè)P（x₁，e^x₁），A（x₂，e^x₂），直線PA的方程為y=kx+m，k≠1，聯(lián)立直線y=x-1，求得交點(diǎn)B，運(yùn)用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，結(jié)合函數(shù)y=x-e^x的值域，可得方程2（x₂-e^x₂）=（x₁-e^x₁）+1的解的情況，進(jìn)而得到結(jié)論．

解答 解：設(shè)P（x₁，e^x₁），A（x₂，e^x₂），
直線PA的方程為y=kx+m，k≠1，
聯(lián)立直線y=x-1，
可得交點(diǎn)B（$\frac{1+m}{1-k}$，$\frac{m+k}{1-k}$），
由|PA|=|AB|，可知A為PB的中點(diǎn)，
則2x₂=x₁+$\frac{1+m}{1-k}$，
2e^x₂=e^x₁+$\frac{m+k}{1-k}$，
兩式相減可得，2（x₂-e^x₂）=（x₁-e^x₁）+1，①
由函數(shù)y=x-e^x的導(dǎo)數(shù)為y′=1-e^x，
當(dāng)x＞0時，函數(shù)y=x-e^x遞減，
當(dāng)x＜0時，函數(shù)y=x-e^x遞增，
即有x=0處，y=x-e^x，取得最大值-1，
可得①左邊≤-2，右邊≤0．
當(dāng)x₁=0時，①的右邊為0，方程①的x₂不存在；
當(dāng)x₁=-1時，①的右邊為-e^-1，方程①的x₂不存在；
當(dāng)①的右邊≤-2時，方程①有無窮多個解．
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查新定義的理解和運(yùn)用，考查直線與曲線的關(guān)系，直線與直線的交點(diǎn)和中點(diǎn)坐標(biāo)公式的運(yùn)用，以及方程有解的條件，解題的關(guān)鍵是討論方程兩邊的范圍．