Question

10．已知正三棱錐S-ABC中，SA=x，AB=1，SA與BC的距離為d，則$\underset{lim}{x→1}$d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 x=1時(shí)，正三棱錐S-ABC變成正四面體．如圖所示，取BC的中點(diǎn)D，SA的中點(diǎn)E，連接SD，AD，DE．利用等邊三角形的性質(zhì)可得：SD=AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又SE=EA=$\frac{1}{2}$，可得DE⊥SA，DE⊥BC．因此DE為SA與BC的距離d，利用勾股定理即可得出．

解答 解：x=1時(shí)，正三棱錐S-ABC變成正四面體．如圖所示，
取BC的中點(diǎn)D，SA的中點(diǎn)E，連接SD，AD，DE．
∵△ABC與△SBC是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，
∴SD=AD=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，又SE=EA=$\frac{1}{2}$，
∴DE⊥SA，同理可得DE⊥BC．
∴DE為SA與BC的距離d，
d=DE=$\sqrt{（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{2}-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴$\underset{lim}{x→1}$d=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了正四面體的性質(zhì)、等邊三角形與等腰三角形的性質(zhì)、異面直線之間的距離、勾股定理、極限的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．