Question

6．已知函數(shù)f（x）=|x-a|+|x-1|+2a．
（1）若f（2）≥0，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意，若f（2）≥0，則|2-a|+1+2a≥0，用零點分段討論法分析可得$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{（a-2）+2a+1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{（2-a）+2a+1≥0}\end{array}\right.$，解可得a的取值范圍，即可得答案；
（2）分析可得存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，即有f（x）_min＜0，即可得|a-1|+2a＜0，解可得a的取值范圍，即可得答案．

解答 解：（1）根據(jù)題意，若f（2）≥0，則|2-a|+1+2a≥0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{a≥2}\\{（a-2）+2a+1≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a＜2}\\{（2-a）+2a+1≥0}\end{array}\right.$，
解可得a≥2或-3≤a＜2，
所以a≤-3，
即a的取值范圍是[-3，+∞）；
（2）存在x∈R使得不等式f（x）＜0成立，即有f（x）_min＜0，
f（x）=|x-a|+|x-1|+2a≥|a-1|+2a，即f（x）的最小值為|a-1|+2a，
則有|a-1|+2a＜0，
則有$\left\{\begin{array}{l}{1-a+2a＜0}\\{a＜1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a-1+2a＜0}\\{a≥1}\end{array}\right.$，
解可得a＜-1，
故a的取值范圍是（-∞，-1）．

點評 本題主要考查絕對值不等式的解法，函數(shù)的恒成立問題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化以及分類討論的數(shù)學思想，屬于中檔題．