Question

8．已知函數(shù)f（x）=lnx，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+m（m∈R），若函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線與函數(shù)g（x）的圖象相切，則m的值為-$\frac{1}{3}$或$-\frac{5}{3}$．

Answer 1

分析 由f（x）求出其導函數(shù)，把切點的橫坐標代入導函數(shù)中即可表示出切線的斜率，根據(jù)切點坐標寫出切線方程，求出g（x）的切點坐標，即可求解m．

解答 解：f（x）=lnx得f′（x）=$\frac{1}{x}$，
函數(shù)f（x）的圖象在點（1，f（1））處的切線的斜率為f′（1）=1，f（1）=0．
切線方程為：y-0=x-1即y=x-1．
由已知得它與g（x）的圖象相切，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+m（m∈R），g′（x）=x²，
令x²=1，可得x=±1，切點的橫坐標為1時，切點為：（1，0）此時m=$-\frac{1}{3}$，
切點橫坐標為：-1時，切點坐標為：（-1，-2），此時-2=-$\frac{1}{3}+m$，解得m=$-\frac{5}{3}$．
故答案為：-$\frac{1}{3}$或$-\frac{5}{3}$．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線方程，考查直線和拋物線相切的條件，屬于中檔題．