Question

20．為調(diào)查高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間之間的相關(guān)關(guān)系，某重點高中數(shù)學教師對高三年級的50名學生進行了跟蹤調(diào)查，其中每周自主做數(shù)學題的時間不少于15小時的有22人，余下的人中，在高三模擬考試中數(shù)學平均成績不足120分的占$\frac{4}{7}$，統(tǒng)計成績后，得到如下的2×2列聯(lián)表：

	分數(shù)大于等于120分	分數(shù)不足120分	合　計
周做題時間不少于15小時		4	22
周做題時間不足15小時
合　計			50

（Ⅰ）請完成上面的2×2列聯(lián)表，并判斷能否有99%以上的把握認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有關(guān)”；
（Ⅱ）（i）按照分層抽樣的方法，在上述樣本中，從分數(shù)大于等于120分和分數(shù)不足120分的兩組學生中抽取5名學生，設(shè)抽到的不足120分且周做題時間不足15小時的人數(shù)是X，求X的分布列（概率用組合數(shù)算式表示）；
（ii）若將頻率視為概率，從全校大于等于120分的學生中隨機抽取25人，求這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)的期望和方差．
附：K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$

P（K2≥k0）	0.050	0.010	0.001
k0	3.841	6.635	10.828

Answer 1

分析 （Ⅰ）計算平均成績不足120分的人數(shù)，填寫列聯(lián)表即可；計算K²，即可對照臨界值得出結(jié)論；
（Ⅱ）（i）根據(jù)分層抽樣原理知隨機變量X的可能取值，求出對應(yīng)的概率值，寫出分布列；
（ii）從全校大于等于120分的學生中隨機抽取25人，這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)為隨機變量Y，則Y～B（25，0.6），計算Y的期望與方差即可．

解答 解：（Ⅰ）根據(jù)題意，在高三模擬考試中數(shù)學平均成績不足120分的人數(shù)為（50-22）×$\frac{4}{7}$=16，
填寫2×2列聯(lián)表如下：

	分數(shù)大于等于120分	分數(shù)不足120分	合　計
周做題時間不少于15小時	18	4	22
周做題時間不足15小時	12	16	28
合　計	30	20	50

計算K²=$\frac{n（ad-bc）^{2}}{（a+b）（c+d）（a+c）（b+d）}$=$\frac{50{×（18×16-12×4）}^{2}}{22×28×30×20}$≈7.792＞6.635，
所以有99%以上的把握認為“高中生的數(shù)學成績與學生自主學習時間有關(guān)”；
（Ⅱ）（i）按照分層抽樣方法，大于或等于120分的有3人，不足120分的有2人，
則X的可能取值為0，1，2；
計算P（X=0）=$\frac{{C}_{16}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{12}{19}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{•C}_{16}^{1}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{32}{95}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{20}^{2}}$=$\frac{3}{95}$；
所以X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{12}{19}$	$\frac{32}{95}$	$\frac{3}{95}$

（ii）設(shè)從全校大于等于120分的學生中隨機抽取25人，
這些人中周做題時間不少于15小時的人數(shù)為隨機變量Y，且頻率為$\frac{30}{50}$=0.6，
由題意可知，Y～B（25，0.6），
所以E（Y）=25×0.6=15，D（Y）=25×0.6×（1-0.6）=6．

點評 本題考查了獨立性檢驗與離散型隨機變量的分布列、數(shù)學期望與方差的計算問題，是綜合題．