Question

16．如圖，三棱柱ABC-DEF中，側(cè)面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE=$\frac{π}{3}$，BC=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，點(diǎn)F在平面ABED內(nèi)的正投影為G，且G在AE上，F(xiàn)G=$\sqrt{3}$，點(diǎn)M在線段CF上，且CM=$\frac{1}{4}$CF．
（1）證明：直線GM∥平面DEF；
（2）求三棱錐M-DEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由已知可得AE=2，求解直角三角形可得EG=$\frac{3}{2}$，則AG：HG=1：3，過G作SH∥AD，交AB于S，交DE于H，則SG：GH=1：3，再由已知可得CM：MF=1：3，得到MG∥FH，由線面平行的判定可得直線GM∥平面DEF；
（2）設(shè)過MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，得三棱柱DEF-MNK，可得${V}_{M-DEF}=\frac{1}{3}{V}_{DEF-KMN}$=V_M-NEK，由等積法求得三棱錐M-DEF的體積．

解答 （1）證明：如圖，∵面ABED是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABE=$\frac{π}{3}$，
∴△ABE為正三角形，且AE=2，
∵FG⊥GE，F(xiàn)G=$\sqrt{3}$，EF=BC=$\frac{\sqrt{21}}{2}$，
∴EG=$\frac{3}{2}$，則AG：HG=1：3，過G作SH∥AD，
交AB于S，交DE于H，
則SG：GH=1：3，
連接CS、FH，∵CM=$\frac{1}{4}$CF，∴CM：MF=1：3，
∴MG∥FH，又FH?平面DEF，MG?平面DEF，
∴直線GM∥平面DEF；
（2）解：設(shè)過MG且平行于平面DEF的平面交三棱柱于MNK，
得三棱柱DEF-MNK，可得${V}_{M-DEF}=\frac{1}{3}{V}_{DEF-KMN}$=V_M-NEK，
∵NK=2，NE=$\frac{3}{4}BE=\frac{3}{2}$，∴${S}_{△NEK}=\frac{1}{2}×2×\frac{3}{2}×sin\frac{π}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{4}$．
則${V}_{M-NEK}=\frac{1}{3}×\frac{3\sqrt{3}}{4}×\sqrt{3}=\frac{3}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查線面平行的判定，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．