Question

5．已知在三棱錐P-ABC中，V_P-ABC=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，∠APC=$\frac{π}{4}$，∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，且平面PAC⊥平面PBC，那么三棱錐P-ABC外接球的體積為$\frac{32π}{3}$．

Answer 1

分析 利用等體積轉(zhuǎn)換，求出PC，PA⊥AC，PB⊥BC，可得PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑，即可求出三棱錐P-ABC外接球的體積．

解答 解：由題意，設(shè)PC=2x，∵PA⊥AC，∠APC=$\frac{π}{4}$，
∴△APC為等腰直角三角形，∴PC邊上的高為x，
∵平面PAC⊥平面PBC，∴A到平面PBC的距離為x，
∵∠BPC=$\frac{π}{3}$，PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PB=x，BC=$\sqrt{3}$x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$x$•\sqrt{3}x$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x²，
∴V_P-ABC=V_A-PBC=$\frac{1}{3}$$•\frac{\sqrt{3}}{2}{x}^{2}•x$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，解得x=2，
∵PA⊥AC，PB⊥BC，
∴PC的中點(diǎn)為球心，球的半徑為2，
∴三棱錐P-ABC外接球的體積為$\frac{4}{3}π×{2}^{3}$=$\frac{32π}{3}$．
故答案為：$\frac{32π}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三棱錐P-ABC外接球的體積，考查學(xué)生的計(jì)算能力，正確確定球心與球的半徑是關(guān)鍵．