Question

14．已知函數(shù)f（x）=ax+xlnx（a∈R）
（1）當(dāng)a=2時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）當(dāng)a=1且k∈Z時(shí)，不等式k（x-1）＜f（x）在x∈（1，+∞）上恒成立，求k的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；
（2）問題轉(zhuǎn)化為k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立，令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出k的最大值即可．

解答 解：（1）∵a=2，∴f（x）=2x+xlnx，定義域?yàn)椋?，+∞），
∴f′（x）=3+lnx，由f′（x）＞0得到x＞e^-3，由f′（x）＜0得到x＜e^-3，
∴函數(shù)f（x）=2x+xlnx的增區(qū)間為（e^-3，+∞），減區(qū)間為（0，e^-3）．
（2）當(dāng)x＞1時(shí)，x-1＞0，故不等式k（x-1）＜f（x）?k＜$\frac{f（x）}{x-1}$，
即k＜$\frac{x+xlnx}{x-1}$對(duì)任意x＞1恒成立．
令g（x）=$\frac{x+xlnx}{x-1}$，則g′（x）=$\frac{x-lnx-2}{{（x-1）}^{2}}$，
令h（x）=x-lnx-2（x＞1），
則h′（x）=1-$\frac{1}{x}$=$\frac{x-1}{x}$＞0⇒h（x）在（1，+∞）上單增．
∵h(yuǎn)（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-ln4＞0，
∴存在x₀∈（3，4）使h（x₀）=0，
即當(dāng)1＜x＜x₀時(shí)，h（x）＜0，即g′（x）＜0，
當(dāng)x＞x₀時(shí)，h（x）＞0，即g′（x）＞0，
∴g（x）在（1，x₀）上單減，在（x₀，+∞）上單增．
令h（x₀）=x₀-lnx₀-2=0，即lnx₀=x₀-2，
g（x）min=g（x₀）=$\frac{{x}_{0}（1+l{nx}_{0}）}{{x}_{0}-1}$=$\frac{{x}_{0}（1{+x}_{0}-2）}{{x}_{0}-1}$=x₀∈（3，4），
∴k＜g（x）_min=x₀且k∈Z，
即k_max=3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)恒成立問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道綜合題．