Question

17．已知函數(shù)f（x）=-sin²x+2asinx+5
（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，求函數(shù)f（x）的值域；
（2）當(dāng)f（x）=0有實(shí)數(shù)解時，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用換元法，設(shè)t=sinx，則原函數(shù)變形為y=-t²+t+5   t∈[-1，1]，求值域．
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性分類討論．

解答 解：（1）當(dāng)a=$\frac{1}{2}$時，f（x）=-sin²x+sinx+5，設(shè)t=sinx，則原函數(shù)變形為y=-t²+t+5   t∈[-1，1]，
有二次函數(shù)的性質(zhì)可得：
當(dāng)t=$\frac{1}{2}$時，y取得最大值$\frac{21}{4}$；   
當(dāng)t=-1時，y取得最小值3．
所以：f（x）的值域?yàn)?[{3，\frac{21}{4}}]$．
（2）設(shè)λ=sinx，則原函數(shù)變形為y=-λ²+2aλ+5   λ∈[-1，1]，
要使f（x）=0有實(shí)數(shù)解：
①a＞1時，函數(shù)在λ∈[-1，1]上單調(diào)遞增，因此有$\left\{\begin{array}{l}4-2a≤0⇒a≥2\\ 4+2a≥0⇒a≥-2\end{array}\right.⇒a≥2$
②-1≤a≤1時，有 $\left\{\begin{array}{l}f（a）≥0⇒a∈R\\ f（1）≤0或f（-1）≤0⇒a≥2或a≤-2\end{array}\right.$，所以此時無解．
③a＜-1時，函數(shù)在t∈[-1，1]上單調(diào)遞減，$\left\{\begin{array}{l}4+2a≤0⇒a≤-2\\ 4-2a≥0⇒a≤2\end{array}\right.⇒a≤-2$
綜上所述：a≥2或a≤-2．

點(diǎn)評 本題主要考查了換元法解題的思想，和二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)的運(yùn)用．屬于中檔題．