Question

8．點(diǎn)P為△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$取最小值時(shí)，點(diǎn)P為△ABC的（　�。�

• A． 內(nèi)心
• B． 外心
• C． 重心
• D． 垂心

Answer 1

分析 $\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{2}$[$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$]，以PA，PC為鄰邊做平行四邊形PACD，則B，P，D三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，$\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}）$取得最小值，同理可得$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）和$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$取得最小值時(shí)的條件，從而確定P的位置．

解答 解：$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$=$\frac{1}{2}$[$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PB}$•（$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}$）+$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$]，
以PA，PC為鄰邊做平行四邊形PACD，設(shè)PD交AC于M，
則$\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}=\overrightarrow{PD}$=2$\overrightarrow{PM}$，
∴當(dāng)$\overrightarrow{PB}$與$\overrightarrow{PM}$方向相反時(shí)，$\overrightarrow{PB}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PC}）$取得最小值，此時(shí)P為△ABC的中線(xiàn)BM上，
同理：當(dāng)P為△ABC的邊BC上的中線(xiàn)上時(shí)，$\overrightarrow{PA}$•（$\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PC}$）取得最小值，
當(dāng)P為△ABC的邊AB上的中線(xiàn)上時(shí)，$\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{PA}+\overrightarrow{PB}）$取得最小值，
∴當(dāng)P為△ABC的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)即重心時(shí)，$\overrightarrow{PA}•\overrightarrow{PB}+\overrightarrow{PB}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{PA}$取最小值．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，平面向量的基本定理，屬于中檔題．