Question

4．已知函數(shù)f（x）=log₂[（4^x+1）•2^kx]，k∈R是偶函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（2t²+1）＜f（t²-2t+1），求t的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)偶函數(shù)得f（-x）=f（x），列方程求出k的值；
（2）由題意可得f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，把不等式化為t²-2t+1＞2t²+1，求解即可．

解答 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）定義域?yàn)镽，
由偶函數(shù)可得f（-x）=f（x），
∴l(xiāng)og₂[（4^-x+1）2^-kx]=log₂[（4^x+1）2^kx]，
∴（4^-x+1）2^-kx=（4^x+1）2^kx，
∴$\frac{（1{+4}^{x}）}{{4}^{x}}$•$\frac{1}{{2}^{kx}}$=（4^x+1）•2^kx，
∴4^kx=4^-x，解得k=-1；
（2）由題意可得f（x）=log₂[（4^x+1）•2^-x]=log₂（2^x+2^-x），
∴f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，且2t²+1＞0，t²-2t+1＞0，
∴不等式f（2t²+1）＜f（t²-2t+1）可化為t²-2t+1＞2t²+1，
解得-2＜t＜0，即t的取值范圍是（-2，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了偶函數(shù)的定義與應(yīng)用問(wèn)題，也考查了不等式的解法與應(yīng)用問(wèn)題，是綜合題．