Question

2．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)$M（0，\frac{1}{2}）$的距離與到直線y=-$\frac{1}{2}$的距離相等．
（Ⅰ）求曲線C的方程；
（Ⅱ）設(shè)A₁（x₁，0），A₂（x₂，0）是x軸上的兩點(diǎn)x₁+x₂≠0，x₁x₂≠0，過點(diǎn)A₁，A₂分別作x軸的垂線，與曲線C分別交于點(diǎn)A₁′，A₂′，直線A₁′A₂′與x軸交于點(diǎn)A₃（x₃，0），這樣就稱x₁，x₂確定了x₃．同樣，可由x₂，x₃確定了x₄．現(xiàn)已知x₁=6，x₂=2，求x₄的值．
（Ⅲ）在曲線C上有A、B兩點(diǎn)，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0，過原點(diǎn)做直線AB的垂線與直線AB交于M，寫出點(diǎn)M的軌跡方程（不要求寫出計(jì)算過程）．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由拋物線的定義可知：設(shè)拋物線方程為x²=2py，$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，則p=1，即可求得曲線C的方程；
（Ⅱ）利用直線的斜率公式求得${k}_{{A′}_{1}{A′}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$，當(dāng)y=0，則$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，將x₁=6，x₂=2，代入求得x₃的值，代入即可求得x₄的值；
（Ⅲ）將直線AB的方程代入橢圓方程，由韋達(dá)定理及向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，求得直線AB恒過點(diǎn)N（0，2），由圓的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)M的軌跡方程．

解答 解：（Ⅰ）因?yàn)榍�線C上任意一點(diǎn)到點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）的距離與到直線y=-$\frac{1}{2}$的距離相等，
根據(jù)拋物線定義知，曲線C是以點(diǎn)M（0，$\frac{1}{2}$）為焦點(diǎn)，直線y=-$\frac{1}{2}$為準(zhǔn)線的拋物線，
設(shè)拋物線方程為x²=2py，可得$\frac{p}{2}$=$\frac{1}{2}$，解得：p=1，
故拋物線方程為x²=2y，
曲線C的方程x²=2y； …（4分）
（Ⅱ）由題意，得A₁′（x₁，$\frac{1}{2}$x₁²），A₂′（x ₂，$\frac{1}{2}$x₂²），
則${k}_{{A′}_{1}{A′}_{2}}$=$\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}^{2}-{x}_{1}^{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{1}{2}$（x ₁+x ₂），
故直線A₁A₂方程為：y-$\frac{1}{2}$x₁²=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）（x-x₂）． …（6分）
令y=0，得$\frac{1}{x}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，即$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$，…（8分）
∵x₁=6，x₂=2，∴$\frac{1}{{x}_{3}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{1}{6}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{2}{3}$，
則x₃=$\frac{3}{2}$，
則$\frac{1}{{x}_{4}}$=$\frac{1}{{x}_{3}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$=$\frac{2}{3}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{6}$…（9分）
于是求得x₄的值為$\frac{6}{7}$
（Ⅲ）設(shè)直線l的方程為y=ky+b，（b≠0）則$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+b}\\{{x}^{2}=2y}\end{array}\right.$，
可得x²-2ky-2b=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=2k，x₁x₂=-2b，
∴y₁y₂=（kx₁+b）（kx₂+b）=b²，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=b²-2b=0，
∴b=2，則直線AB恒過點(diǎn) N（0，2）
∵OM⊥AB，
∴∠OMN=90°，
∴點(diǎn)M的軌跡是以O(shè)N為直徑的圓，圓心（1，0），半徑為1．
其方程為：x²+y²-2x=0，
點(diǎn)M的軌跡方程x²+y²-2x=0．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，韋達(dá)定理，向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．