Question

7．已知SA、SB、SC兩兩所成的角為60°，則平面SAB與平面SAC所成二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．

Answer 1

分析 構(gòu)造正四面體S-ABC，取SA中點O，連結(jié)BO，CO，則BO⊥SA，CO⊥SO，∠BOC是平面SAB與平面SAC所成二面角的平面角，由此能求出平面SAB與平面SAC所成二面角的余弦值．

解答 解：∵SA、SB、SC兩兩所成的角為60°，
∴構(gòu)造正四面體S-ABC，
取SA中點O，連結(jié)BO，CO，
設(shè)該正四面體棱長為2，
則BO⊥SA，CO⊥SO，
∴∠BOC是平面SAB與平面SAC所成二面角的平面角，
BO=CO=$\sqrt{4-1}=\sqrt{3}$，BC=2，
∴cos∠BOC=$\frac{B{O}^{2}+C{O}^{2}-B{C}^{2}}{2•BO•CO}$
=$\frac{3+3-4}{2×\sqrt{3}×\sqrt{3}}$=$\frac{1}{3}$．
∴平面SAB與平面SAC所成二面角的余弦值為$\frac{1}{3}$．
故答案為：$\frac{1}{3}$．

點評 本題考查二面角概念及其求法，化歸與轉(zhuǎn)化的思想的應(yīng)用，考查邏輯推理、運算、空間想象能力，屬中檔題．