Question

19．已知函數(shù)f（x）=ax²+（b-8）x-a-ab，f（x）＞0的解集為（-3，2），
（1）求f（x）的解析式；
（2）x＞-1時，$y=\frac{f（x）-21}{x+1}$的最大值；
（3）若不等式ax²+kx-b＞0的解集為A，且（1，4）⊆A，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)題意并結(jié)合一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系，可得方程ax²+（b-8）x-a-ab的兩根分別為-3和3，由此建立關(guān)于a、b的方程組并解之，即可得到實數(shù)a、b的值，問題得以接解決，
（2）原函數(shù)轉(zhuǎn)化為y=$\frac{-3{x}^{2}-3x-3}{x+1}$，再根據(jù)基本不等式即可求出最大值，
（3）由題可知，不等式ax²+kx-b＞0在x∈（1，4）上恒成立，分離參數(shù)，利用基本不等式即可求出答案．

解答 解：（1）由題可知$\left\{\begin{array}{l}a＜0\\ f（-3）=0\\ f（2）=0\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}a=-3\\ b=5\end{array}\right.$
則f（x）=-3x²-3x+18；
（2）由（1）$y=\frac{f（x）-21}{x+1}$=$\frac{{-3{x^2}-3x-3}}{x+1}$
令t=x+1，x＞-1則t＞0，$y=-3（t+\frac{1}{t}-1）≤-3$
當且僅當$t=\frac{1}{t}$取等號，此時t=1，則x=0
則y最大值為-3；
（3）由題可知，不等式ax²+kx-b＞0在x∈（1，4）上恒成立，
即kx＜3x²+5在x∈（1，4）上恒成立
即$k＜3x+\frac{5}{x}在x∈（1，4）$上恒成立，
又$3x+\frac{5}{x}≥2\sqrt{3x•\frac{5}{x}}=2\sqrt{15}$，當且僅當$3x=\frac{5}{x}，即x=\frac{{\sqrt{15}}}{3}∈（1，4）$時有最小值$2\sqrt{15}$
則$k＜2\sqrt{15}$

點評 本題給出二次函數(shù)，著重考查了一元二次不等式的應(yīng)用、基本不等式的應(yīng)用，一元二次不等式與一元二方程的關(guān)系等知識國，屬于中檔題．