Question

6．已知函數(shù)f（x）=x²-alnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1處取得極值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值；
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若h（x）=x²-f（x），求證：當1＜x＜e²時，恒有$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$成立．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)的定義域，求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由已知函數(shù)f（x）=x²-alnx在x=1處取得極值，即f'（1）=0，求出a的值，然后檢驗，滿足題意即可；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-a}}{x}$，定義域為（0，+∞），然后分類討論，當a≤0時，f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[1，+∞），最小值為f（1）=1；當0＜a≤2，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為f（1）=1；當a＞2時，函數(shù)f（x）在$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$取得最小值$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$，綜上當a≤2時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為1；當a＞2時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$；
（Ⅱ）由h（x）=x²-f（x）得h（x）=2lnx，當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4，欲證$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$，只需證x[4-h（x）]＜4+h（x），即$lnx＞\frac{2x-2}{x+1}$，設(shè)$φ（x）=lnx-\frac{2x-2}{x+1}$，求出φ'（x），當1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，φ（x）在區(qū)間（1，e²）上單調(diào)遞增，當1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，即$lnx-\frac{2x-2}{x+1}＞0$，則可證明結(jié)論成立．

解答 （Ⅰ）解：由f（x）=x²-alnx，定義域為（0，+∞），
得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}$．
∵函數(shù)f（x）=x²-alnx在x=1處取得極值，
∴f'（1）=0，即2-a=0，解得a=2．
經(jīng)檢驗，滿足題意，∴a=2；                             
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得$f'（x）=2x-\frac{a}{x}=\frac{{2{x^2}-a}}{x}$，定義域為（0，+∞）．
當a≤0時，有f'（x）＞0，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為f（1）=1；
當0＜a≤2，由f'（x）=0得$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$，且$0＜\sqrt{\frac{a}{2}}≤1$．
當$x∈（0，\sqrt{\frac{a}{2}}）$時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當$x∈（\sqrt{\frac{a}{2}}\;，\;+∞）$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調(diào)遞增，最小值為f（1）=1；
當a＞2時，$\sqrt{\frac{a}{2}}＞1$，
當$x∈（1，\sqrt{\frac{a}{2}}）$時，f'（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減，當$x∈（\sqrt{\frac{a}{2}}\;，\;+∞）$時，f'（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)f（x）在$x=\sqrt{\frac{a}{2}}$取得最小值$f（\sqrt{\frac{a}{2}}）=\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$．
綜上當a≤2時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為1；
當a＞2時，f（x）在區(qū)間[1，+∞）上的最小值為$\frac{a}{2}-\frac{a}{2}ln\frac{a}{2}$．          
（Ⅲ）證明：由h（x）=x²-f（x）得h（x）=2lnx．
當1＜x＜e²時，0＜lnx＜2，0＜h（x）＜4，
欲證$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$，只需證x[4-h（x）]＜4+h（x），
即證$h（x）＞\frac{4x-4}{x+1}$，即$lnx＞\frac{2x-2}{x+1}$．                               
設(shè)$φ（x）=lnx-\frac{2x-2}{x+1}$，
則$φ'（x）=\frac{1}{x}-\frac{2（x+1）-（2x-2）}{{{{（x+1）}^2}}}=\frac{{{{（x-1）}^2}}}{{x{{（x+1）}^2}}}$．
當1＜x＜e²時，φ'（x）＞0，∴φ（x）在區(qū)間（1，e²）上單調(diào)遞增．
∴當1＜x＜e²時，φ（x）＞φ（1）=0，即$lnx-\frac{2x-2}{x+1}＞0$，
故$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$．
∴當1＜x＜e²時，$x＜\frac{4+h（x）}{4-h（x）}$恒成立．

點評 本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，考查了學(xué)生的運算能力，計算量比較大，屬于難題．