Question

15．已知圓C：（x-3）²+（y-3）²=4及點A（1，1），M為圓C上的任意點N在線段MA的延長線上，且$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{AN}$．
（1）求點N的軌跡方程；
（2）求|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值．

Answer 1

分析 （1）設出動點的坐標，利用向量條件確定動點坐標之間的關系，利用M為圓C上任意一點，即可求得結論；
（2）由（1）可得兩個圓的圓心在直線y=x上，|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值為|OC|+2-1，即可求出求|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值．

解答 解：（1）設N（x，y），M（x₀，y₀），則
由$\overrightarrow{MA}$=2$\overrightarrow{AN}$得（1-x₀，1-y₀）=2（x-1，y-1），
∴1-x₀=2x-2，1-y₀=2y-2，即x₀=3-2x，y₀=3-2y，
∵M為圓C上任意一點
∴（x₀-3）²+（y₀-3）²=4，
∴（3-2x-3）²+（3-2y-3）²=4，
∴x²+y²=1．
即點N的軌跡方程是x²+y²=1；
（2）由（1）可得兩個圓的圓心在直線y=x上，
∴|$\overrightarrow{AM}$+$\overrightarrow{AN}$|的最大值為|OC|+2-1=$\sqrt{9+9}$+1=3$\sqrt{2}$+1．

點評 本題考查軌跡方程，解題的關鍵是利用向量條件確定動點坐標之間的關系，屬于中檔題．