Question

2．橢圓$\frac{{x}^{2}}{a+8}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，則a的值為（　�。�

• A． 10或-$\frac{7}{2}$
• B． 4或-$\frac{5}{4}$
• C． 4或-$\frac{7}{2}$
• D． 10或-$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 對橢圓的焦點分類討論，利用橢圓的標準方程及其離心率計算公式即可得出．

解答 解：橢圓的焦點在x軸上時，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
同理可得：當橢圓的焦點在y軸上時，設橢圓的標準方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
因此可得：當橢圓的焦點在x軸上時，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{9}{a+8}}$，解得a=4．
當橢圓的焦點在y軸上時，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{a+8}{9}}$，解得a=$-\frac{5}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了橢圓的標準方程及其性質，考查了分類討論方法、推理能力與計算能力，屬于中檔題．