Question

2．橢圓$\frac{{x}^{2}}{a+8}$+$\frac{{y}^{2}}{9}$=1的離心率e=$\frac{1}{2}$，則a的值為（　　）

• A． 10或-$\frac{7}{2}$
• B． 4或-$\frac{5}{4}$
• C． 4或-$\frac{7}{2}$
• D． 10或-$\frac{5}{2}$

Answer 1

分析 對橢圓的焦點(diǎn)分類討論，利用橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其離心率計(jì)算公式即可得出．

解答 解：橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}}$=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
同理可得：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{{x}^{2}}{^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1（a＞b＞0），其中c=$\sqrt{{a}^{2}-^{2}}$，則橢圓的離心率e=$\sqrt{1-\frac{^{2}}{{a}^{2}}}$．
因此可得：當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在x軸上時(shí)，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{9}{a+8}}$，解得a=4．
當(dāng)橢圓的焦點(diǎn)在y軸上時(shí)，e=$\frac{1}{2}$=$\sqrt{1-\frac{a+8}{9}}$，解得a=$-\frac{5}{4}$．
故選：B．

點(diǎn)評 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)，考查了分類討論方法、推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．