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10.已知函數(shù)f(x)=2sinxcosx-23cos2x+3,則下列結(jié)論正確的是(  )
A.f(x)的周期為2πB.f(x)在區(qū)間(0,\frac{π}{4})內(nèi)單調(diào)遞增
C.f(x)的一個對稱中心為(\frac{π}{3},0)D.當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]時,f(x)的值域為[-2\sqrt{3},0]

分析 利用三角函數(shù)的恒等變換化簡函數(shù)f(x)的解析式,再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性,單調(diào)性,定義域和值域,判斷各個選項是否正確,從而得出結(jié)論.

解答 解:∵函數(shù)f(x)=2sinxcosx-2\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}=sin2x-\sqrt{3}cos2x=2sin(2x-\frac{π}{3}),∴它的周期為\frac{2π}{2}=π,故排除A;
在區(qū)間(0,\frac{π}{4})內(nèi),2x-\frac{π}{3}∈(-\frac{π}{3},\frac{π}{6}),∴f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3}) 在區(qū)間(0,\frac{π}{4})內(nèi)單調(diào)遞增,故B滿足條件;
令x=\frac{π}{3},求得f(x)=\sqrt{3},故排除C;
當(dāng)x∈[0,\frac{π}{2}]時,2x-\frac{π}{3}∈[-\frac{π}{3}\frac{2π}{3}],∴f(x)=2sin(2x-\frac{π}{3})∈[-\sqrt{3},2],故f(x)的值域為[-\sqrt{3},2],故排除D,
故選:B.

點評 本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換,正弦函數(shù)的周期性,單調(diào)性,定義域和值域,屬于基礎(chǔ)題.

練習(xí)冊系列答案
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20.0,1,2,3,4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù),其中0,1不能相鄰的不同排法數(shù)為(  )
A.36B.24C.54D.27

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1.函數(shù)f(x)=\frac{1}{3}x3+|x-a|(x∈R,a∈R).
(1)若函數(shù)f(x)在R上為增函數(shù),求a的取值范圍;
(2)已知函數(shù)f(x)在R上不單調(diào).
①記f(x)在x∈[-1,1]上的最大值、最小值分別為M(a),m(a),求M(a)-m(a);
②設(shè)b∈R,若|f(x)+b|≤\frac{2}{3}對任意實數(shù)x∈[-1,1]都成立,求a-b的取值范圍.

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18.函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω,φ為常數(shù),A>0,ω>0,0<φ<π)的圖象如圖所示,則A=2,f(-\frac{π}{3})=-2.

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2.橢圓\frac{{x}^{2}}{a+8}+\frac{{y}^{2}}{9}=1的離心率e=\frac{1}{2},則a的值為(  )
A.10或-\frac{7}{2}B.4或-\frac{5}{4}C.4或-\frac{7}{2}D.10或-\frac{5}{2}

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19.設(shè)a∈R,a2-1+(a+1)i是純虛數(shù),其中i是虛數(shù)單位,則a=(  )
A.±1B.-1C.1D.0

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20.若x,y滿足約束條件\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{3}x-y+\sqrt{3}≥0}\\{\sqrt{3}x+y-\sqrt{3}≤0}\\{y≥0}\end{array}}\right.,則當(dāng)\frac{y+1}{x+3}取最大值時,x+y的值為( �。�
A.-1B.1C.-\sqrt{3}D.\sqrt{3}

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