Question

16．已知等差數(shù)列{a_n}首項(xiàng)是1公差不為0，S_n為的前n和，且S₂²=S₁•S₄．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)數(shù)列b_n=$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}$，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由等差數(shù)列的性質(zhì)可得：${a_1}（{4{a_1}+6d}）={（{2{a_1}+d}）^2}$，即$2{a_1}d={d^2}$，由a₁=1，d≠0，求得d，根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），利用“裂項(xiàng)法”即可求得數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）由已知，得 ${S_2}^2={S_1}•{S_4}$，即${a_1}（{4{a_1}+6d}）={（{2{a_1}+d}）^2}$，
∴$2{a_1}d={d^2}$，
又由a₁=1，d≠0，
∴d=2，
a_n=1+2（n-1）=2n-1，
數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=2n-1；
（2）由（1）可得${b_n}=\frac{1}{{（{2n-1}）（{2n+1}）}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
T_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n，
=$\frac{1}{2}[{（{1-\frac{1}{3}}）+（{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}}）（{\frac{1}{5}-\frac{1}{7}}）+…+（{\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}}）}]=\frac{n}{2n+1}$，
數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{2n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．