Question

3．設O是非直角三角形ABC外接圓的圓心，點M滿足$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，用向量法證明：$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{AC}$．

Answer 1

分析 運用向量的加減運算和數(shù)量積的性質，主要是向量的平方即為模的平方，化簡整理即可得到證明．

解答 證明：O是非直角三角形ABC外接圓的圓心，
可設|OA|=|OB|=|OC|=R，
由$\overrightarrow{OM}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$+$\overrightarrow{OC}$，可得
$\overrightarrow{BM}$•$\overrightarrow{AC}$=（$\overrightarrow{OM}$-$\overrightarrow{OB}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=（$\overrightarrow{OC}$+$\overrightarrow{OA}$）•（$\overrightarrow{OC}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\overrightarrow{OC}$²-$\overrightarrow{OA}$²=R²-R²=0，
可得$\overrightarrow{BM}$⊥$\overrightarrow{AC}$．

點評 本題考查向量的加減運算和數(shù)量積的性質，主要是向量的平方即為模的平方，考查運算能力，屬于基礎題．