Question

【題目】已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式，并寫出推理過(guò)程；

(2)令，，試比較與的大小，并給出你的證明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ），證明見解析．

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意可根據(jù)數(shù)列通項(xiàng)與前項(xiàng)和之間的關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解，即當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，這時(shí)可得到與的關(guān)系式，根據(jù)關(guān)系式的特點(diǎn)，可通過(guò)構(gòu)造換元，令，從而得出數(shù)列是等差數(shù)列，先求出數(shù)列的通項(xiàng)，再求出數(shù)列的通項(xiàng)；（Ⅱ）根據(jù)數(shù)列的特點(diǎn)可利用錯(cuò)位相減法求出，接著利用作差法進(jìn)行比較，根據(jù)差式的特點(diǎn)這里可采用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行猜想證明，詳見解析．

試題解析：（Ⅰ）在中，令，可得，即，

當(dāng)時(shí)，，∴，

∴，即，

設(shè)，則，即當(dāng)時(shí)，，

又，∴數(shù)列是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．

于是，∴

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，

所以，

由①-②，

得

∴，則

于是只要比較與的大小即可，

（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即，

（2）猜想：當(dāng)時(shí)，，下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時(shí)，不等式成立；②假設(shè)時(shí)，不等式成立，即；

則當(dāng)時(shí)，，

所以當(dāng)時(shí)，不等式成立，

由①和②可知，當(dāng)時(shí)，成立，

于是，當(dāng)時(shí)，，即．

另證：要證，只要證：，只要證：，

由均值不等式得：，

所以，于是當(dāng)時(shí)，，即．