分析 (Ⅰ)當(dāng)y=0時,求得焦點F坐標(biāo),M,N代入橢圓方程,作差,利用中點坐標(biāo)公式,化簡求得MN的直線方程,即可求得a和b的關(guān)系,求得橢圓方程;
(Ⅱ)由題意可知:當(dāng)丨AB丨最大時,△AOB面積的最大值,將直線AB代入橢圓方程,利用韋達定理弦長公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得丨AB丨的最大值.
解答 解:(Ⅰ)由題意,直線x+y−√2=0與x軸交點F(√2,0),則c=√2,
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),P(xP,yP),2xP=x1+x2,2yP=y1+y2,
直線OP的斜率k=ypxp,
則:{x21a2+y212=1x22a2+y222=1,
整理得:(x1+x2)(x1−x2)a2+(y1+y2)(y1−y2)2=0,
則y1−y2x1−x2=-2(x1+x2)a2(y1+y2)=-2xpa2yP,
由直線MN的斜率k=y1−y2x1−x2=-2a2×3=-1,整理得:a2=3b2=3(a2-c2),
又c=√2,解得:a2=3,b2=1,
∴橢圓C的方程為:x23+y2=1;…(4分)
(Ⅱ)由題意,①當(dāng)直線l的斜率不存在時,O到直線l的距離為√32,
將x=±√32代入橢圓方程,解得:y=±√32,則丨AB丨=2丨y丨=√3;
當(dāng)直線斜率為O時,將y=±√32,代入橢圓方程,解得:x=±√32,
則丨AB丨=2丨x丨=√3;…(6分)
②當(dāng)直線l的斜率存在時且不為0時,
設(shè)直線l的方程為:y=kx+m(k,m∈R且k≠0),
由題意,原點0到直線l的距離為√32,
故丨m丨√k2+1√32,則m2=34(k2+1).
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則:{y=kx+mx23+y2=1,(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=,
由題意△>0,x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3(m2−1)3k2+1.
丨AB丨2=(1+k2)[(x1+x2)-4x1x2]=(1+k2)[(-6km3k2+1)2-4×3(m2−1)3k2+1],
=(1+k2)36k2×34(k2+1)−12[34(k2+1)−1](3k2+1)(3k2+1)2,
=(1+k2)[27k4+27k2−27k4+3](3k2+1)2,
=27k4+30k2+39k4+6k2+1=3+12k29k4+6k2+1,
=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4,
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=1k2,即k=±√33時等號成立,丨AB丨max=2,
綜上所述,當(dāng)直線l的斜率k=±√33時,
即丨AB丨max=2時,△AOB面積的最大值,
最大值為S=12×丨AB丨max×√32=√32,
△AOB面積的最大值√32.…(12分)
點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,弦長公式及基本不等式應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.
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A. | (−14,+∞) | B. | (−12,0) | C. | (-1,0) | D. | (−14,0) |
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