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19.在平面直角坐標(biāo)系xoy中,過橢圓Cx2a2+y2b2=1ab0右焦點的直線x+y2=0交橢圓C于M,N兩點,P為M,N的中點,且直線OP的斜率為13
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設(shè)另一直線l與橢圓C交于A,B兩點,原點O到直線l的距離為32,求△AOB面積的最大值.

分析 (Ⅰ)當(dāng)y=0時,求得焦點F坐標(biāo),M,N代入橢圓方程,作差,利用中點坐標(biāo)公式,化簡求得MN的直線方程,即可求得a和b的關(guān)系,求得橢圓方程;
(Ⅱ)由題意可知:當(dāng)丨AB丨最大時,△AOB面積的最大值,將直線AB代入橢圓方程,利用韋達定理弦長公式及基本不等式的性質(zhì),即可求得丨AB丨的最大值.

解答 解:(Ⅰ)由題意,直線x+y2=0與x軸交點F(2,0),則c=2
設(shè)M(x1,y1)、N(x2,y2),P(xP,yP),2xP=x1+x2,2yP=y1+y2,
直線OP的斜率k=ypxp,
則:{x21a2+y212=1x22a2+y222=1
整理得:x1+x2x1x2a2+y1+y2y1y22=0,
y1y2x1x2=-2x1+x2a2y1+y2=-2xpa2yP,
由直線MN的斜率k=y1y2x1x2=-2a2×3=-1,整理得:a2=3b2=3(a2-c2),
又c=2,解得:a2=3,b2=1,
∴橢圓C的方程為:x23+y2=1;…(4分)
(Ⅱ)由題意,①當(dāng)直線l的斜率不存在時,O到直線l的距離為32,
將x=±32代入橢圓方程,解得:y=±32,則丨AB丨=2丨y丨=3
當(dāng)直線斜率為O時,將y=±32,代入橢圓方程,解得:x=±32
則丨AB丨=2丨x丨=3;…(6分)
②當(dāng)直線l的斜率存在時且不為0時,
設(shè)直線l的方程為:y=kx+m(k,m∈R且k≠0),
由題意,原點0到直線l的距離為32,
mk2+132,則m2=34(k2+1).
設(shè)A(x1,y1)、B(x2,y2),
則:{y=kx+mx23+y2=1,(1+3k2)x2+6kmx+3(m2-1)=,
由題意△>0,x1+x2=-6km3k2+1,x1x2=3m213k2+1
丨AB丨2=(1+k2)[(x1+x2)-4x1x2]=(1+k2)[(-6km3k2+12-4×3m213k2+1],
=(1+k236k2×34k2+112[34k2+11]3k2+13k2+12,
=1+k2[27k4+27k227k4+3]3k2+12,
=27k4+30k2+39k4+6k2+1=3+12k29k4+6k2+1,
=3+129k2+1k2+6≤3+122×3+6=4,
當(dāng)且僅當(dāng)9k2=1k2,即k=±33時等號成立,丨AB丨max=2,
綜上所述,當(dāng)直線l的斜率k=±33時,
即丨AB丨max=2時,△AOB面積的最大值,
最大值為S=12×丨AB丨max×32=32
△AOB面積的最大值32.…(12分)

點評 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡單幾何性質(zhì),直線與橢圓的位置關(guān)系,考查韋達定理,弦長公式及基本不等式應(yīng)用,考查計算能力,屬于中檔題.

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