Question

7．過雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的焦點(diǎn)F且與一條漸近線垂直的直線與兩條漸近線相交于A，B兩點(diǎn)，若$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，則雙曲線的離心率為$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

Answer 1

分析 求出雙曲線的漸近線方程，設(shè)出過右焦點(diǎn)且與第一三象限的漸近線垂直的直線方程，與雙曲線的漸近線方程聯(lián)立把A，B表示出來，再由$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，求出a，b，c的關(guān)系，然后求雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的漸近線方程為y=±$\frac{a}$x，
設(shè)焦點(diǎn)F（c，0），與y=$\frac{a}$x垂直的直線為y=-$\frac{a}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$可得A（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}+^{2}}$，$\frac{abc}{{a}^{2}+^{2}}$）；
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{a}x}\\{y=-\frac{a}（x-c）}\end{array}\right.$可得B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}-^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$），
再由$\overrightarrow{BF}=2\overrightarrow{FA}$，可得0-（-$\frac{abc}{{a}^{2}-^{2}}$）=2（$\frac{abc}{{a}^{2}+^{2}}$-0），
化為a²=3b²=3（c²-a²），
即為3c²=4a²，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案為：$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，主要是離心率的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意向量共線的合理運(yùn)用．