Question

12．已知關(guān)于x的不等式$\frac{lo{g}_{a}x}{lnx}$-$\frac{4}{lnx}$＜lnx（a＞0且a≠1）對任意的x∈（1，100）恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

Answer 1

分析 問題轉(zhuǎn)化為$\frac{1}{lna}$＜lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），令h（x）=lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），求出h（x）的值域，從而求出a的范圍即可．

解答 解：∵$\frac{lo{g}_{a}x}{lnx}$-$\frac{4}{lnx}$＜lnx，
∴$\frac{1}{lna}$＜lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），
令h（x）=lnx+$\frac{4}{lnx}$，x∈（1，100），
則lnx＞0，
故h（x）≥2$\sqrt{lnx•\frac{4}{lnx}}$=4，
當(dāng)且僅當(dāng)lnx=2時(shí)“=”成立，
而h（100）=2ln10+$\frac{2}{ln10}$，
而x→1時(shí)，lnx→0，h（x）→+∞，
故h（x）∈[4，+∞），
故$\frac{1}{lna}$＜4，
0＜a＜1時(shí)，lna＜0，成立，
a＞1時(shí)，lna＞0，
只需lna＞$\frac{1}{4}$，即a＞${e}^{\frac{1}{4}}$即可，
綜上：a∈（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞），
故答案為：（0，1）∪（${e}^{\frac{1}{4}}$，+∞）．

點(diǎn)評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查不等式的性質(zhì)，是一道中檔題．