Question

5．橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右焦點為F（1，0），左頂點為A，線段AF的中點為B，圓F過點B，且與C交于D，E，△BDE是等腰直角三角形，則圓F的標準方程是（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$．

Answer 1

分析 設A（-a，0），可得a＞1，c=1，求得AF的中點B的坐標，可得圓F的半徑和方程，設D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），由△BDE為等腰直角三角形，可得m，n的關系，將D的坐標代入圓的方程，解方程可得m=1，求出n，代入橢圓方程，解方程可得a=2，即可得到圓F的方程．

解答 解：如圖設A（-a，0），可得a＞1，c=1，b²=a²-1，
線段AF的中點為B（$\frac{1-a}{2}$，0），
圓F的圓心為F（1，0），半徑r=|BF|=$\frac{1+a}{2}$，
設D（m，n），（m＞0，n＞0），E（m，-n），
由△BDE為等腰直角三角形，可得k_BD=1，
即$\frac{n-0}{m-\frac{1-a}{2}}$=1，即n=m-$\frac{1-a}{2}$，
由D在圓F：（x-1）²+y²=（$\frac{1+a}{2}$）²上，
可得（m-1）²+（m-$\frac{1-a}{2}$）²=（$\frac{1+a}{2}$）²，
化簡可得（m-1）（2m-1+a）=0，
解得m=1或m=$\frac{1-a}{2}$（舍去），
則n=$\frac{1+a}{2}$，
將D（1，$\frac{1+a}{2}$）代入橢圓方程，可得
$\frac{1}{{a}^{2}}$+$\frac{\frac{（1+a）^{2}}{4}}{{a}^{2}-1}$=1，
化簡可得a=2或$\frac{2}{3}$（舍去），
則圓F的標準方程為（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$，
故答案為：（x-1）²+y²=$\frac{9}{4}$．

點評 本題考查橢圓的方程和性質，以及圓的方程的求法，考查等腰直角三角形的性質，注意運用點滿足圓的方程和橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．