Question

5．設(shè)f（x）是定義在R上恒不為零的函數(shù)，且對(duì)任意的x、y∈R都有f（x）•f（y）=f（x+y），若a₁=$\frac{1}{2}$，a_n=f（n）（n∈N^*），則數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n的取值范圍是（　�。�

• A． [$\frac{1}{2}$，1）
• B． [$\frac{1}{2}$，1]
• C． （$\frac{1}{2}$，1）
• D． （$\frac{1}{2}$，1]

Answer 1

分析 根據(jù)f（x）•f（y）=f（x+y），令x=n，y=1，可得數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，進(jìn)而可以求得S_n，運(yùn)用單調(diào)性，進(jìn)而得到S_n的取值范圍．

解答 解：∵對(duì)任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y），
∴令x=n，y=1，得f（n）•f（1）=f（n+1），
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{f（n+1）}{f（n）}$=f（1）=$\frac{1}{2}$，
∴數(shù)列{a_n}是以$\frac{1}{2}$為首項(xiàng)，以$\frac{1}{2}$為公比的等比數(shù)列，
∴a_n=f（n）=（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
∴S_n=$\frac{\frac{1}{2}（1-\frac{1}{{2}^{n}}）}{1-\frac{1}{2}}$=1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ，
由1-（$\frac{1}{2}$）ⁿ在n∈N*上遞增，可得最小值為1-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$，
則S_n∈[$\frac{1}{2}$，1）．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了等比數(shù)列的求和問題，解題的關(guān)鍵是根據(jù)對(duì)任意x，y∈R，都有f（x）•f（y）=f（x+y）得到數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，屬中檔題．