Question

6．定義在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=f（x-1），且f（x）在[-3，-2]上是增函數(shù)，又α、β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，則（　�。�

• A． f（sinα）＞f（cosβ）
• B． f（cosα）＜f（cosβ）
• C． f（sinα）＜f（cosβ）
• D． f（sinα）＜f（sinβ）

Answer 1

分析 由條件得到f（x）是周期為2的周期函數(shù)，由f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，在[-3，-2]上是減函數(shù)，根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知f（x）在[2，3]上單調(diào)遞增，進而得到函數(shù)f（x）在[0，1]上單調(diào)增，再由α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，得$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，且sinα、cosβ都在區(qū)間[0，1]上，從而可求．

解答 解：在R上的偶函數(shù)f（x），滿足f（x+1）=f（x-1），故f（x+2）=f（x），故函數(shù)f（x）的周期為2．
∵f（-x）=f（x），f（x）在[-3，-2]上是減函數(shù)，
根據(jù)偶函數(shù)的對稱性可知函數(shù)f（x）在[2，3]上是增函數(shù)，
根據(jù)函數(shù)的周期可知，函數(shù)f（x）在[0，1]上是增函數(shù)，
∵α，β是銳角三角形的兩個內(nèi)角，∴α+β＞$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$＞α＞$\frac{π}{2}$-β＞0，
∴1≥sinα＞sin（$\frac{π}{2}$-β）=cosβ≥0，∴f（sinα）＞f（cosβ），
故選：A．

點評 本題綜合考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性、周期性等函數(shù)知識的綜合應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用函數(shù)的知識，屬于中檔題．