Question

16．已知函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx+a²（a、b∈R）
（1）若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，求b的值；
（2）若a=-4，f（x）在x∈[0，2]上單調(diào)遞增，求b的最小值．

Answer 1

分析 （1）先對函數(shù)求導(dǎo)f'（x）=3x²+2ax+b，由題意可得f（1）=10，f′（1）=0，結(jié)合導(dǎo)數(shù)存在的條件可求
（2）問題轉(zhuǎn)化為b≥-3x²+8x在x∈[0，2]恒成立，從而有b≥（-3x²+8x）_max，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出b的范圍即可．

解答 解：（1）f'（x）=3x²+2ax+b，
若函數(shù)f（x）在x=1處有極值為10，
則 $\left\{\begin{array}{l}{f′（1）=3+2a+b=0}\\{f（1）=1+a+b{+a}^{2}=10}\end{array}\right.$⇒$\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$或 $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{a=4}\\{b=-11}\end{array}\right.$時，f'（x）=3x²+8x-11，
△=64+132＞0，所以函數(shù)有極值點(diǎn)；
當(dāng) $\left\{\begin{array}{l}{a=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$時，f′（x）=3（x-1）2≥0，
所以函數(shù)無極值點(diǎn)；
則b的值為-11．
（2）a=-4時，f（x）=x³-4x²+bx+16，
f'（x）=3x²-8x+b≥0對任意的x∈[0，2]都成立，
即b≥-3x²+8x，x∈[0，2]，
令h（x）=-3x²+8x，對稱軸x=$\frac{4}{3}$，
函數(shù)h（x）在[0，$\frac{4}{3}$）遞增，在（$\frac{4}{3}$，2]遞減，
故h（x）_max=h（$\frac{4}{3}$）=$\frac{16}{3}$，
故b≥$\frac{16}{3}$，
則b的最小值為$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評 本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，利用構(gòu)造函數(shù)的思想把恒成立轉(zhuǎn)化為求解函數(shù)的最值問題，要注意構(gòu)造思想在解題中的應(yīng)用．