Question

8．過雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1的右頂點作x軸的垂線，與C的一條漸近線相交于點A．若以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點（O為坐標(biāo)原點），則雙曲線C的方程為（　　）

• A． $\frac{{x}^{2}}{12}$-$\frac{{y}^{2}}{4}$=1
• B． $\frac{{x}^{2}}{7}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1
• C． $\frac{{x}^{2}}{8}$-$\frac{{y}^{2}}{8}$=1
• D． $\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1

Answer 1

分析 根據(jù)圓的性質(zhì)，求出圓心坐標(biāo)，即c=4求出A的坐標(biāo)，代入圓的方程進行求解即可．

解答 解：∵以C的右焦點為圓心、半徑為4的圓經(jīng)過A，O兩點（O為坐標(biāo)原點），
∴半徑R=c=4，則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（x-4）²+y²=16，
A（a，0），y=$\frac{a}•a$=b，即B（a，b），
則（a-4）²+b²=16，
即a²-8a+16+b²=16，
即c²-8a=0，即8a=16，
則a=2，b²=16-4=12，
則雙曲線C的方程為$\frac{{x}^{2}}{4}$-$\frac{{y}^{2}}{12}$=1，
故選：D

點評 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)圓的性質(zhì)先求出半徑c=4是解決本題的關(guān)鍵．