【題目】設(shè)，函數(shù)，（為自然對數(shù)的底數(shù)），且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象在處有公共的切線.

（Ⅰ）求的值；

（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）證明：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間內(nèi)恒成立.

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）詳見解析

【解析】

試題分析：（Ⅰ）由導(dǎo)數(shù)幾何意義得，分別求導(dǎo)得（Ⅱ）由于，所以根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號進(jìn)行討論：當(dāng)時(shí)，，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，先增后減再增（Ⅲ）證明不等式恒成立問題，一般轉(zhuǎn)化為對應(yīng)函數(shù)最值問題，即證的最小值大于零，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性：時(shí)，在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減，從而

試題解析：（Ⅰ），

由，得.……………………………………2分

（Ⅱ），

當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，從而函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，此時(shí)

若，，則函數(shù)單調(diào)遞增；

若，，則函數(shù)單調(diào)遞減；

若時(shí)，，則函數(shù)單調(diào)遞增.……………………6分

（Ⅲ）令，則.

，令，則.

當(dāng)時(shí)，，

又當(dāng)時(shí)，，從而單調(diào)遞減；

所以.

故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

又因?yàn)?/span>，故當(dāng)時(shí)，，

從而函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；

又因?yàn)?/span>

所以在區(qū)間恒成立.…………14分

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地?cái)M建一座長為640米的大橋，假設(shè)橋墩等距離分布，經(jīng)設(shè)計(jì)部門測算，兩端橋墩造價(jià)總共為100萬元，當(dāng)相鄰兩個(gè)橋墩的距離為米時(shí)（其中）．中間每個(gè)橋墩的平均造價(jià)為萬元，橋面每1米長的平均造價(jià)為萬元．

（1）試將橋的總造價(jià)表示為的函數(shù)；

（2）為使橋的總造價(jià)最低，試問這座大橋中間（兩端橋墩除外）應(yīng)建多少個(gè)橋墩？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知．

（1）當(dāng)為常數(shù)，且在區(qū)間變化時(shí)，求的最小值；

（2）證明：對任意的，總存在，使得 ．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商店為了更好地規(guī)劃某種商品進(jìn)貨的量，該商店從某一年的銷售數(shù)據(jù)中，隨機(jī)抽取了組數(shù)據(jù)作為研究對象，如下圖所示（（噸）為該商品進(jìn)貨量， （天）為銷售天數(shù)）：

（Ⅰ）根據(jù)上表數(shù)據(jù)在下列網(wǎng)格中繪制散點(diǎn)圖：

（Ⅱ）根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，求出關(guān)于的線性回歸方程；

（Ⅲ）根據(jù)（Ⅱ）中的計(jì)算結(jié)果，若該商店準(zhǔn)備一次性進(jìn)貨該商品噸，預(yù)測需要銷售天數(shù)；

參考公式和數(shù)據(jù)：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在對人們休閑方式的一次調(diào)查中，共調(diào)查了124人，其中女性70人，男性54人，女性中有43人主要的休閑方式是看電視，另外27人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)；男性中有21人主要的休閑方式是看電視，另外33人主要的休閑方式是運(yùn)動(dòng)．

（Ⅰ）根據(jù)以上數(shù)據(jù)建立一個(gè)2×2列聯(lián)表；

（Ⅱ）能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為性別與休閑方式有關(guān)系？

附：

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在直三棱柱中，平面側(cè)面，且．

（1）求證：；

（2）若直線與平面所成角的大小為，求銳二面角的大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，點(diǎn)在直線上，且滿足

（Ⅰ）當(dāng)點(diǎn)在軸上移動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡的方程；

（Ⅱ）過點(diǎn)做直線與軌跡交于兩點(diǎn)，若在軸上存在一點(diǎn)，使得是以點(diǎn)為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求直線的斜率的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某地自來水苯超標(biāo)，當(dāng)?shù)刈詠硭緦λ|(zhì)檢測后，決定在水中投放一種藥劑來凈化水質(zhì)，已知每投放質(zhì)量為的藥劑后，經(jīng)過天該藥劑在水中釋放的濃度（毫克/升）滿足，其中，當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）時(shí)稱為有效凈化；當(dāng)藥劑在水中的濃度不低于5（毫克/升）且不高于10（毫克/升）時(shí)稱為最佳凈化.

（Ⅰ）如果投放的藥劑質(zhì)量為，試問自來水達(dá)到有效凈化一共可持續(xù)幾天？

（Ⅱ）如果投放的藥劑質(zhì)量為，為了使在9天（從投放藥劑算起包括9天）之內(nèi)的自來水達(dá)到最佳凈化，試確定應(yīng)該投放的藥劑質(zhì)量的最小值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù)的圖象上有一點(diǎn)列，點(diǎn)在軸上的射影是，且 (且)， .

(1)求證： 是等比數(shù)列，并求出數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)對任意的正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

(3)設(shè)四邊形的面積是，求證： .

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