Question

10．已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，對任意n∈N^*滿足S_n=2a_n-3．
（1）求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若c_n=na_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)n=1時(shí)求得a₁=3，當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2a_n-2a_n-1，整理得a_n=2a_n-1，數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列，根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式求得{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）求得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，采用“錯(cuò)位相減法”即可求得數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）當(dāng)n=1，a₁=S₁=2a₁-3，解得a₁=3，
當(dāng)n≥2時(shí)，S_n-1=2a_n-1-3．
a_n=S_n-S_n-1=2a_n-3-2a_n-1+3，
∴a_n=2a_n-1，
∴數(shù)列{a_n}是以3為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列；
∴a_n=3×2^n-1；
（2）c_n=na_n=3n•2^n-1，
數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和T_n，T_n=3（1×1+2×2¹+3×2²+…+n•2^n-1）
2T_n=3（1×2+2×2²+3×2³+…+n•2ⁿ）
兩式相減：-T_n=3（1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ），
=3（$\frac{1-{2}^{n}}{1-2}$-n•2ⁿ），
=3[（1-n）•2ⁿ-1]，
∴T_n=3（n-1）•2ⁿ+3．

點(diǎn)評 本題考查數(shù)列求和，考查等比關(guān)系的確定，考查錯(cuò)位相減法及等差數(shù)列的求和，考查綜合分析與運(yùn)算能力，屬于中檔題．