Question

1．已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x），f（2-x）=f（x），當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=$\frac{1}{x-2}$．
（1）當(dāng)x∈[1，2）時，求f（x）的解析式；
（2）計算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）的值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)的關(guān)系，利用轉(zhuǎn)化法進行求解即可．
（2）根據(jù)函數(shù)的周期性進行求出，求出函數(shù)在一個周期內(nèi)的函數(shù)值之和即可．

解答 解：（1）由f（-x）=-f（x），得函數(shù)為奇函數(shù)，
∵f（2-x）=f（x）=-f（x-2），
∴f（x+2）=-f（x），即f（x+4）=-f（x+2）=f（x），則函數(shù)的周期是4，
當(dāng)x∈[1，2）時，當(dāng)-x∈（-2，-1]，2-x∈（0，1]，
∵當(dāng)x∈（0，1]時，f（x）=$\frac{1}{x-2}$．
∴當(dāng)x∈[1，2）時，f（x）=f（2-x）=$\frac{1}{2-x-2}$=-$\frac{1}{x}$．
（2）∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
f（1）=-1，f（2）=f（0）=0，f（3）=f（3-4）=f（-1）=-f（1）=1，
則f（0）+f（1）+f（2）+f（4）=0-1+0+1=0，
則f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2016）=504×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]+f（0）=0

點評 本題主要考查函數(shù)解析式的求解以及函數(shù)值的計算，根據(jù)條件判斷函數(shù)的周期性和對稱性是解決本題的關(guān)鍵．