Question

16．已知圓（x+1）²+（y-4）²=5與圓x²+y²-2x-m²+2m+4=0外離，則m的范圍是-2＜m＜-1或3＜m＜4．

Answer 1

分析 求出兩個圓的圓心和半徑，根據兩圓外離得到半徑和圓心距之間的關系進行求解即可．

解答 解：圓C：x²+y²-2x-m²+2m+4=0得標準方程為（x-1）²+y²=m²-2m-3，
則圓心C為（1，0），半徑r=$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
則圓（x+1）²+（y-4）²=5的圓心A（-1，4），半徑R=$\sqrt{5}$，
∵圓（x+1）²+（y-4）²=5與圓x²+y²-2x-m²+2m+4=0外離，
∴|AC|＞r+R，
即$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
即$\sqrt{（-1-1）^{2}+{4}^{2}}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，（m²-2m-3＞0），
即2$\sqrt{5}$＞$\sqrt{5}$+$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，
即$\sqrt{5}$＞$\sqrt{{m}^{2}-2m-3}$，
即m²-2m-3＜5，
即m²-2m-8＜0，
由$\left\{\begin{array}{l}{{m}^{2}-2m-8＜0}\\{{m}^{2}-2m-3＞0}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{-2＜m＜4}\\{m＞3或m＜-1}\end{array}\right.$，即-2＜m＜-1或3＜m＜4，
故答案為：-2＜m＜-1或3＜m＜4．

點評 本題主要考查圓與圓的位置關系的應用，求出兩圓的圓心和半徑，結合兩圓相離的關系建立不等式是解決本題的關鍵．