Question

5．已知函數(shù)f（x）=x³-3x-1，g（x）=2^x-a，若對(duì)任意x₁∈[0，2]，存在x₂∈[0，2]使|f（x₁）-g（x₂）|≤2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍（　�。�

• A． [1，5]
• B． [2，5]
• C． [-2，2]
• D． [5，9]

Answer 1

分析 先將問題等價(jià)為，f（x）_max-g（x）_max≤2，且f（x）_min-g（x）_min≥-2，再分別對(duì)二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)在相應(yīng)區(qū)間上求最值．

解答 解：根據(jù)題意，要使得|f（x₁）-g（x₂）|≤2，即-2≤f（x₁）-g（x₂）≤2
只需滿足：f（x）_max-g（x）_max≤2，且f（x）_min-g（x）_min≥-2，
∵函數(shù)f（x）=x³-3x-1，
∴f'（x）=3x²-3，
當(dāng)f'（x）≥0是，即1≤x≤2，函數(shù)f（x）單調(diào)遞增，
當(dāng)f'（x）＜0是，即0≤x＜1，函數(shù)f（x）單調(diào)遞減，
∴f（x）_min=f（1）=1-3-1=-3，
f（0）=-1，f（2）=8-6-1=1，
∴f（x）_max=1，
∵g（x）=2^x-a在[0，2]單調(diào)遞增，
∴g（x）_min=g（0）=1-a，
g（x）_max=g（2）=4-a，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1-（4-a）≤2}\\{-3-（1-a）≥-2}\end{array}\right.$，
解得2≤a≤5．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了不等式有解和恒成立的綜合問題，涉及二次函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性和值域，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于中檔題．