Question

2．設F₁，F(xiàn)₂分別是橢圓E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點，過點F₁的直線交橢圓E于A，B兩點，|AF₁|=3|BF₁|，若cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，則橢圓E的離心率為（　�。�

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{2}{3}$
• C． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$

Answer 1

分析 設|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，由cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，利用余弦定理，可得a=3k，從而△AF₁F₂是等腰直角三角形，即可求橢圓E的離心率．

解答 解：設|F₁B|=k（k＞0），則|AF₁|=3k，|AB|=4k，
∴|AF₂|=2a-3k，|BF₂|=2a-k
∵cos∠AF₂B=$\frac{3}{5}$，
在△ABF₂中，由余弦定理得，|AB|²=|AF₂|²+|BF₂|²-2|AF₂|•|BF₂|cos∠AF₂B，
∴（4k）²=（2a-3k）²+（2a-k）²-$\frac{6}{5}$（2a-3k）（2a-k），
化簡可得（a+k）（a-3k）=0，而a+k＞0，故a=3k，
∴|AF₂|=|AF₁|=3k，|BF₂|=5k，
∴|BF₂|²=|AF₂|²+|AB|²，
∴AF₁⊥AF₂，
∴△AF₁F₂是等腰直角三角形，
∴c=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
故選：D．

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、勾股定理的逆定理、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．