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2.設F1,F(xiàn)2分別是橢圓E:x2a2+y22=1(a>b>0)的左、右焦點,過點F1的直線交橢圓E于A,B兩點,|AF1|=3|BF1|,若cos∠AF2B=35,則橢圓E的離心率為( �。�
A.12B.23C.32D.22

分析 設|F1B|=k(k>0),則|AF1|=3k,|AB|=4k,由cos∠AF2B=35,利用余弦定理,可得a=3k,從而△AF1F2是等腰直角三角形,即可求橢圓E的離心率.

解答 解:設|F1B|=k(k>0),則|AF1|=3k,|AB|=4k,
∴|AF2|=2a-3k,|BF2|=2a-k
∵cos∠AF2B=35
在△ABF2中,由余弦定理得,|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2|•|BF2|cos∠AF2B,
∴(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-65(2a-3k)(2a-k),
化簡可得(a+k)(a-3k)=0,而a+k>0,故a=3k,
∴|AF2|=|AF1|=3k,|BF2|=5k,
∴|BF2|2=|AF2|2+|AB|2
∴AF1⊥AF2,
∴△AF1F2是等腰直角三角形,
∴c=22a,
∴橢圓的離心率e=ca=22
故選:D.

點評 本題考查了橢圓的定義標準方程及其性質、勾股定理的逆定理、余弦定理,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題.

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