Question

18．在直角坐標(biāo)系xOy中，以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．圓O的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$（θ為參數(shù)，r＞0）．
（Ⅰ）求圓O的圓心的極坐標(biāo)（ρ≥0，0≤θ＜2π ）；
（Ⅱ）當(dāng)r為何值時(shí)，圓O上的點(diǎn)到直線l的最大距離為2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根據(jù)圓O的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$可得圓心為（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），根據(jù)ρ²=x²+y²，可得ρ=1，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{5π}{4}$．可得圓心的極坐標(biāo)．
（Ⅱ）將直線l的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化為普通方程，然后把參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$帶入圓心到直線的距離公式d，利用三角函數(shù)的有界限即可求．

解答 解：（Ⅰ）圓O的參數(shù)方程為$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$，
可得圓心為（$-\frac{\sqrt{2}}{2}，-\frac{\sqrt{2}}{2}$），
由ρ²=x²+y²，可得ρ=1，tanθ=$\frac{y}{x}$=$\frac{5π}{4}$．
∴圓心的極坐標(biāo)為（1，$\frac{5π}{4}$）．
（Ⅱ）直線l的極坐標(biāo)方程ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$化為普通方程，可得$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρsinθ+$\frac{\sqrt{2}}{2}$ρcosθ=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，即x+y-1=0，
把參數(shù)方程$\left\{\begin{array}{l}x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ\\ y=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ\end{array}$，
由圓心到直線的距離公式d=$\frac{|-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ-\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ-1|}{\sqrt{2}}$，即d=$\frac{|-\sqrt{2}+\sqrt{2}rsin（θ+\frac{π}{4}）-1|}{\sqrt{2}}$，
當(dāng)sin（$θ+\frac{π}{4}$）=-1時(shí)，圓O上的點(diǎn)到直線l的最大，即$\frac{\sqrt{2}+\sqrt{2}r+1}{\sqrt{2}}$=2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
解得r=1
∴當(dāng)r=1時(shí)，圓O上的點(diǎn)到直線l的最大距離為2+$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化，以及利用平面幾何知識(shí)解決最值問(wèn)題．利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．