Question

9．已知雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右端點分別為A、B兩點，點C（0，$\sqrt{2}$b），若線段AC的垂直平分線過點B，則雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

Answer 1

分析 運用平面幾何的性質(zhì)可得△ABC為等邊三角形，則$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2a，由a，b，c的關(guān)系和離心率公式，計算即可得到所求值．

解答 解：由線段AC的垂直平分線過點B，結(jié)合對稱性可得△ABC為等邊三角形，
則$\sqrt{2}$b=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•2a，
即b=$\frac{\sqrt{6}}{2}$a，
c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{3}{2}{a}^{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{10}}{2}$，
故答案為：$\frac{\sqrt{10}}{2}$．

點評 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運用平面幾何的性質(zhì)，以及雙曲線的基本量的關(guān)系，考查運算能力，屬于基礎(chǔ)題．