Question

9．已知函數(shù)f（x）=x²+|x|-|x-5|+2．
（1）求不等式f（x）＜0的解集；
（2）若關(guān)于x的不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有11個(gè)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）討論x的取值，去掉絕對(duì)值，化簡f（x），求出不等式f（x）＜0的解集；
（2）由（1）寫出f（x）解析式，畫出f（x）的圖象，結(jié)合圖象，求出不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有11個(gè)時(shí)，求出m的取值范圍．

解答 解：（1）當(dāng)x≤0時(shí)，f（x）=x²-x+x-5+2=x²-3，
由x²-3＜0解得-$\sqrt{3}$＜x＜$\sqrt{3}$，取-$\sqrt{3}$＜x≤0；
當(dāng)0＜x＜5時(shí)，f（x）=x²+x+x-5+2=x²+2x-3，
由x²+2x-3＜0解得-3＜x＜1，取0＜x＜1；
當(dāng)x≥5時(shí)，f（x）=x²+x-x+5+2=x²+7，
由x²+7＜0無解；
綜上，不等式f（x）＜0的解集為（-$\sqrt{3}$，1）；
（2）由（1）知，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-3，x≤0}\\{{x}^{2}+2x-3，0＜x＜5}\\{{x}^{2}+7，x≥5}\end{array}\right.$，
畫出f（x）的圖象如圖所示；
若關(guān)于x的不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有11個(gè)，
當(dāng)m=32時(shí)，由x²+7≤32，解得x≤5；
由x²-3≤32，解得-$\sqrt{35}$≤x，
滿足不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有11個(gè)；
當(dāng)m=33時(shí)，由x²+7≤33，解得x≤$\sqrt{26}$；
由x²-3≤33，解得-6≤x，
滿足不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有12個(gè)；
不滿足題意；
當(dāng)m=31時(shí)，由x²+7≤31，解得x≤$\sqrt{24}$；
由x²-3≤31，解得-$\sqrt{34}$≤x，
滿足不等式|f（x）|≤m的整數(shù)解僅有10個(gè)；
不滿足題意；
綜上，m的取值范圍是[32，33）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了絕對(duì)值不等式的解法與應(yīng)用問題，也考查了分類討論思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用問題，是綜合性題目．