Question

12．已知等差數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n滿足 S₃=0，S₅=-5，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
（2）令${b_n}=\frac{1}{{{a_{2n-1}}•{a_{2n+1}}}}（n∈{N^*}）$，求數(shù)列{b_n}的前n 項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）方法一：等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}=-5}\end{array}\right.$，即可求得a₁和d，根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)a_n；
方法二：根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知：S₃=3a₂=0，S₅=5a₃=-5，則d=a₃-a₂=-1，則a_n=a₂+（n-2）d；
（2）由（1）可知b_n=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），采用“裂項(xiàng)法”即可求得T_n．

解答 解：（1）方法一：設(shè)等差數(shù)列{a_n}公差為d，
由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式可知：$\left\{\begin{array}{l}{3{a}_{1}+\frac{3×2}{2}=0}\\{5{a}_{1}+\frac{5×4}{2}=-5}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=0}\\{{a}_{1}+2d=-1}\end{array}\right.$，解得a₁=1，d=-1，
則{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=1-（n-1）=2-n；
方法二：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)可知：S₃=3a₂=0，則a₂=0，
S₅=5a₃=-5，則a₃=-1，
d=a₃-a₂=-1，
∴數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式a_n=a₂+（n-2）d=2-n；
（2）由（1）可知：b_n=$\frac{1}{{a}_{2n-1}•{a}_{2n+1}}$=$\frac{1}{（3-2n）（1-2n）}$=$\frac{1}{（2n-1）（2n-3）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
數(shù)列{b_n}的前n 項(xiàng)和T_n=$\frac{1}{2}$（-1-1）+$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），．
=$\frac{1}{2}$（-1-1+1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-3}$-$\frac{1}{2n-1}$），
=$\frac{1}{2}$（-1-$\frac{1}{2n-1}$），
=$\frac{n}{1-2n}$，
數(shù)列{b_n}的前n 項(xiàng)和T_n=$\frac{n}{1-2n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前n項(xiàng)和公式，考查“裂項(xiàng)法”求數(shù)列的前n項(xiàng)和，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．