Question

1．已知函數(shù)f（x）=（x+5）（x²+x+a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）對稱，設(shè)關(guān)于x的不等式f′（x+b）＜f′（x）的解集為M，若（1，2）⊆M，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是[-6，0）．

Answer 1

分析 根據(jù)題意可知f（-4）+f（0）=0，由此可知求出a=-2，求導(dǎo)得到f′（x），由f′（x+b）＜f′（x）轉(zhuǎn)化為b（2x+b+4）＜0，分類討論，根據(jù)（1，2）⊆M，即可求出b的范圍

解答 解：∵函數(shù)f（x）=（x+5）（x²+x+a）的圖象關(guān)于點(diǎn)（-2，0）中心對稱，
∴f（-4）+f（0）=0，
∴（-4+5）（16-4+a）+5a=0
∴a=-2，
∴f（x）=（x+5）（x²+x-2）=x³+6x²+3x-10，
∴f′（x）=3x²+12x+3，
∵f′（x+b）＜f′（x）
∴3（x+b）²+12（x+b）+3＜3x²+12x+3，
∴2bx+b²+4b＜0，
即b（2x+b+4）＜0，
當(dāng)b＞0時(shí)，解得x＜-$\frac{b+4}{2}$，
∵（1，2）⊆M，
∴-$\frac{b+4}{2}$≥2，解得b≤-8，
∴b∈∅；
當(dāng)b＜0時(shí)，解得x＞-$\frac{b+4}{2}$，
∵（1，2）⊆M，
∴-$\frac{b+4}{2}$≤1，解得b≥-6，
∴-6≤b＜0，
綜上所述b的取值范圍[-6，0）
故答案為：[-6，0）

點(diǎn)評 本題考查集合的包含關(guān)系，考查函數(shù)圖象的對稱性，導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，以及不等式的解集，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．