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11.如圖,有一直徑為8的半圓形,半圓周上有一點C滿足∠ABC=\frac{π}{6},動點E,F(xiàn)在直徑AB上,滿足∠ECF=\frac{π}{6},
(1)若CE=\sqrt{13},求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求三角形△ECF面積的最大值.

分析 (1)由已知利用余弦定理,即可求AE的長;
(2)設(shè)∠ACE=α,求出CF,CE,利用三角形面積公式可求S△CEF,求出最大值

解答 解:(1)由已知得△ABC為直角三角形,因為AB=8,∠ABC=\frac{π}{6},
所以∠BAC=\frac{π}{3},AC=4,
在△ACE中,由余弦定理:CE2=AC2+AE2-2AC•AEcosA,且CE=\sqrt{13},
所以13=16+AE2-4AE,
解得AE=1或AE=3,
(2)因為∠ACB=\frac{π}{2},∠ECF=\frac{π}{6},
所以∠ACE=α∈[0,\frac{π}{3}],
所以∠AFC=π-∠A-∠ACF=\frac{π}{2}
在△ACF中由正弦定理得:\frac{CF}{sinA}=\frac{AC}{sin∠CFA},
所以CF=\frac{2\sqrt{3}}{cosα},
在△ACE中,由正弦定理得:\frac{CE}{sinA}=\frac{AC}{sin∠AEC},
所以CE=\frac{2\sqrt{3}}{sin(\frac{π}{3}+α)},
由于S△ECF=\frac{1}{2}CE•CF•sin∠ECF=\frac{12}{sin(\frac{π}{3}+2α)+\sqrt{3}}
因為α∈[0,\frac{π}{3}],所以0≤sin(2α+\frac{π}{3})≤1,
所以α=\frac{π}{3}時,S△CEF取最大值為4\sqrt{3}

點評 本題主要考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的運用,考查三角形面積的計算,考查了正弦函數(shù)的最值,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

1.已知函數(shù)f(x)=-x2+mlnx(m∈R).
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若m=2時,函數(shù)f(x)與g(x)=x-\frac{a}{x}(a∈R)有相同極值點.
①求實數(shù)a的值;
②若對于?{x_1},{x_2}∈[{\frac{1}{e},5}](e為自然對數(shù)的底數(shù)),不等式\frac{{f({x_1})-g({x_2})}}{t+1}≤1恒成立,求實數(shù)t的取值范圍.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

2.某校為了解高二年級不同性別的學(xué)生對取消藝術(shù)課的態(tài)度(支持或反對)進行了如下的調(diào)查研究.全年級共有1350人,男女生比例為8:7,現(xiàn)按分層抽樣方法抽取若干名學(xué)生,每人被抽到的概率均為\frac{1}{9},通過對被抽取學(xué)生的問卷調(diào)查,得到如下2×2列聯(lián)表:
支持反對總計
男生30
女生25
總計
(1)完成下列聯(lián)表,并判斷能否有99%的把握認為態(tài)度與性別有關(guān)?
(2)若某班有6名男生被抽到,其中2人支持,4人反對;有4名女生被抽到,其中2人支持,2人反對,現(xiàn)從這10人中隨機抽取一男一女進一步調(diào)查原因.求其中恰有一人支持一人反對的概率.
參考公式:K2=\frac{{n{{(ad-bc)}^2}}}{(a+c)(b+d)(a+b)(c+d)}
P(K2≥k00.100.0500.0100.0050.001
k02.7069%3.8416.6357.87910.828

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

19.已知x2+4xy-3=0,其中x>0,y∈R,則x+y的最小值是( �。�
A.\frac{3}{2}B.3C.1D.2

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

6.方程ρ=2cosθ表示的曲線是( �。�
A.直線B.C.橢圓D.雙曲線

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

16.在某化學(xué)反應(yīng)的中間階段,壓力保持不變,溫度從1°變化到5°,反應(yīng)結(jié)果如下表所示(x代表溫度,y代表結(jié)果):
x12345
y3571011
(1)請在給出的坐標系中畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖(點要描粗)
(2)求化學(xué)反應(yīng)的結(jié)果y對溫度x的線性回歸方程\hat y=\widehatbx+\hat a;
(3)判斷變量x與y是正相關(guān)還是負相關(guān),并預(yù)測當(dāng)溫度達到10°時反應(yīng)結(jié)果為多少?
附:線性回歸方程\hat y=\widehatbx+\hat a中,\widehatb=\frac{{\sum_{i=1}^n{{x_i}{y_i}}-n\bar x\bar y}}{{\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{{\bar x}^2}}},\hat a=\bar y-\hat b\overline x

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

3.在平面直角坐標系xOy中,曲線C1的方程為x2+y2=1,在以原點為極點,x軸的非負關(guān)軸為極軸的極坐標系中,直線l的極坐標方程為ρ=\frac{8}{cosθ+2sinθ}
(1)將C1上的所有點的橫坐標和縱坐標分別伸長到原來的2倍和\sqrt{3}倍后得到曲線C2,求曲線C2的參數(shù)方程;
(2)若P,Q分別為曲線C2與直線l的兩個動點,求|PQ|的最小值以及此時點P的坐標.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:填空題

20.如圖所示的三角形數(shù)陣叫“牛頓調(diào)和三角形”,它們是由整數(shù)的倒數(shù)組成的,第n行有n個數(shù)且兩端的數(shù)均為\frac{1}{n}
(n≥2),每個數(shù)是它下一行左右相鄰兩數(shù)的和,如\frac{1}{1}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2},\frac{1}{2}=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\frac{1}{12},…
                                         \frac{1}{1}
                                  \frac{1}{2}             \frac{1}{2}
                        \frac{1}{3}              \frac{1}{6}             \frac{1}{3}
               \frac{1}{4}              \frac{1}{12}             \frac{1}{12}          \frac{1}{4}
      \frac{1}{5}             \frac{1}{20}              \frac{1}{30}             \frac{1}{20}         \frac{1}{5}
     …
則第6行第3個數(shù)(從左往右數(shù))為\frac{1}{60}

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:選擇題

1.某幾何體的三視圖如圖所示,其體積為( �。�
A.28πB.37πC.30πD.148π

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同步練習(xí)冊答案